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2016-11-22,切线长定理,第24章 圆(12),1.直线与圆有哪几种位置关系?,直线与圆位置关系: 相离; 相切; 相交.,一、知识回顾:,2.切线的性质定理是什么?,圆的切线垂直于过切点的半径,问题一: (1)过平面上一个已知点, 可以作已知圆的切线吗?,P ,P,(2) 经过圆外一点P, 可以作已知O的几条切线?,【问题】切线上的这点到切点之间的线段有什么性质?,二、问题导入:,1.切线长定义: 如图,过圆外一点P有两条直线PA、PB分别与O相切.经过圆外一点的切线上, 这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.,A,二、新知探索,思考:连接OP 那么AP和BP有什么关系,APO和BPO? 为什么?,已知: 如图, PA、PB是O的切线, 切点分别是A、B. 求证: PA=PB, OPA=OPB.,证明:PA, PB与O相切于A、B OAPA, OBPB 则OAP=OBP=900 OA=OB, OP=OP RtAOPRtBOP (HL) PA = PB, OPA=OPB.,应用格式: PA、PB分别切O于A、B PA=PB, OPA=OPB,2.切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线, 它们的切线长相等, 这点和圆心的连线平分两条切线的夹角.,。,如图, PA、PB是O的切线, 切点分别是A、B. 若连接两切点A、B, 交OP于点M. 可得OP垂直平分AB.,分析:PA、PB切O于A、B PA = PB, OPA=OPB OP垂直平分AB.,(等腰三角形三线合一),“OP垂直平分AB”! 选择题填空题大胆用 解答题: 要先证再用.,问题二:如图是一张三角形的铁皮, 如何在它上面截下一块圆形的用料, 并且使圆的面积尽可能大呢?,A,B,C,与三角形各边都相切的圆面积最大.,思考:怎样确定这个圆的圆心与半径?,(2)三角形的内心就是三角形 的三个内角平分线的交点.,(3)三角形的内心到三角形 的三边的距离相等.,3. 三角形与内切圆的关系,(1)与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆; 三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.,思考:三角形的内心与外心有什么区别?,O,三角形的外接圆,三角形的内切圆,OA=OB=OC,OD=OE=OF,外心到各顶点 的距离相等.,内心到各边 的距离相等.,例1 如图,ABC的内切圆O与BC,CA, AB分别相切于点D,E,F,且AB=9, BC=14,CA=13. (1)求AF,BD,CE的长.,(2)设O的半径为2,求ABC的面积,例2 如图,RtABC中,C=900,AB, BC,CA的长分别为c,a,b,求 ABC 的内切圆半径 r.,例2:如图,O为 的内切圆,切点分别为D、E、F, ,BC=4,AC=3.,(1)求AF的长,(2)求O的半径,切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线, 它们的切线长相等, 圆心 和这一点的连线平分两条切线的夹角.,本课小结,PA、PB分别切O于A、B,PA = PB ,OPA=OPB,(OP垂直平分AB),切线长定理的作用: 证明线段相等、线垂直, 角相等, 弧相等.,r,r,r,ABC的内切圆半径为 r , ABC的周长为 1, 求ABC的面积. (提示: 设内心为O, 连接OA、OB、OC.),解: 连接OA、OB、OC, 则,能力提升,
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