以几何图形为背景的二次函数存在性问题教学,城关二中 胡荣生,二次函数是初中数学学习的重点和难点，又是高中学习的基础，以二次函数与几何图形综合问题为背景的压轴题是中考的热点。此类压轴题类型繁多，知识覆盖面广，综合性强，难度大。不仅考察学生的阅读理解能力，逻辑推理能力，对学生的计算能力和合情推理能力有较高的要求。在解题过程中要求学生数形结合，充分利用基础知识，建立题目条件和结论之间的关联，关联点越多，问题解决起来越快越顺手。压轴题的解决不仅是技术，更是艺术，艺术都有相同性，它们的共性就是利用几何知识，厘清线段数量关系，根据线段数量关系建立方程。点动，线动，形动构成的问题称之为动态几何问题。它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，函数为背景，这类题综合性强，能力要求高，它能全面分析问题和解决的能力。下面就以二次函数为背景的动态问题和单纯几何图形变化的动态问题采撷一例从四个方面加以分类浅析。,问题引发思考,已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点，直线是抛物线的对称轴。 (1)求抛物线的解析式和对称轴； (2)设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A. 点C的距离之和最短时，求点P的坐标； (3)设点P是直线l上的一个动点，当PAC是以AC为斜边的直角三角形时，求点P的坐标； (4)在直线l上是否存在点M，使MAC为等腰三角形?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； (5)设过点A的直线与抛物线在第一象限的交点为N,当ACN的面积为 时，求直线AN的解析式。,一、说选题背景、试题结构、四基考察。 义务教育阶段的数学课程标准，突出体现基础性、普及性和发展性。实现人人能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。此题考查用待定系数法确定二次函数的解析式，利用二次函数的对称性，两点之间线段最短，求出动点的坐标，利用分类的数学思想方法考察等腰三角形腰和底的不确定性，从而求出动点的坐标。利用转化的数学思想方法将不规则图形的面积转化为规则图形的面积，再利用面积求出一次函数的解析式中的常数，从而得到一次函数的解析式。通过一系列数学活动，让学生感受数学思考过程的条理性和数学结论的确定性。体会学习数学的乐趣，提高学习数学的兴趣，建立学好数学的信心。养成认真作业，书写整洁的良好习惯。,一说：选题背景、试题结构、四基考查（2）,P,F,E,一说：选题背景、试题结构、四基考查（3）,N,一说：选题背景、试题结构、四基考查（4）,M,E,一说：选题背景、试题结构、四基考查（5）,N,R,二说：解法思路,二、说解法思路 这道题是数形结合的类型题，解题时要将函数的知识与几何知识有机的结合起来。解题思路： 1、根据坐标系中的几何图形运用对应的几何知识算出线段的长度（特别是特殊点到坐标轴的距离） 2、根据待定系数法求出二次函数解析式，再根据函数解析式求出特殊点的坐标 3、几何与函数的连接点：点到坐标轴的距离=点的坐标的绝对值。 注意事项： 1、根据题的特点选准切入点，若从几何入手更容易解答和表达就先从几何出发算出线段长度或表达出线段的长度，再转化为点的坐标，再用函数知识解答。（有的可以直接用算式算，难点的则要列方程解答）.反之则先从函数入手算出或表达出点的坐标，转化为线段的长度，再用几何知识计算或列方程求解。 2、选准入手方向。,三说：教学实施,三、说教学实施 二次函数的图像和性质以及几何最值问题近年来屡屡出现在各地的中考试卷中，这道题虽然只涉及平面几何中最基本的知识，但试题以直角三角形、等腰三角形为载体，与其他知识的综合，形成背景新颖，创意独特的题，培养学生用数学的眼光观察世界，用数学思维分析世界，用数学的语言表达世界。 大部分学生数学基础不够扎实，理解能力，运算能力等方面有所欠缺，针对这种情况，在教学中，注意面向全体，发挥学生主体性，引导学生积极地，主动获取知识，养成良好的学习习惯。引导学生积极开动脑筋，思考问题和解决问题，从而发扬钻研精神、勇于探索创新。 教学策略选择自主合作探究式学习策略：互相讨论、交流、合作的课堂氛围，运用有序的问题串有层次地灵活呈现问题，组织教学内容，激发学生的学习兴趣积极地参与探究规律的 学习当中。积极肯定学生的学习成果，及时评价学生的课堂表现。,四说：教学对策,四、说教学对策 二次函数动态几何图形变化问题在全国中考数学中常常作为压轴题，分值10分，常考的知识有： 1、二次函数解析式与对称轴的确定; 2、求单动点的坐标； 3、求常见几何图形的面积； 结合这道题的教学谈谈自己的一些想法： 1、二次函数解析式的确立，常见的是设一般形式y=ax2+bx+c,将三个点的坐标代入得到一个三元一次方程组即求解。也可以设二次函数的交点式来求解。由于PAC是直角三角形，可将三边用动点坐标表示转化为一元一次方程或一元二次方程来解。利用二次函数的对称性解决最短路径问题，同时伴随着一次函数的相关知识。 2、学生问题解答分析 学生参加测试的人有43人，做全对的有2人，能做第一（1）问的有38人，（2）问有26人（3）有17人（4）有6人（5）有2人。,下面展示部分学生解题过程： （1）利用待定系数法求二次函数解析式及配方求对称轴,（2）利用抛物线的对称性及两点之间线段最短求点N的坐标,（3）设动点坐标，利用勾股定理求坐标,（4）只完成了一种或两种，分类不会的,（5）只会设过A点的直线解析式，不会求解的,4、根据学生解答情况的分析谈谈教学中的做法与同仁们交流； （1）认真研读数学课程标准及近三年的中考说明，分析中考考题，明确以几何图形为背景的二次函数存在性问题探讨。 （2）待定系数法要牢固掌握，要学会不同函数的一般形式 （3）在平面直角坐标系中表示线段长度的长和三角形的面积。求线段长度的常规方法是构造直角三角形用勾股定理求。割补法把不规则图形的面积转化为规则的面积。易错点就是用点坐标表示面积和线段。 （4）学会猜想的一般技巧 （5）学会用字母或代数式表示其他量。 （6）在平时的学习和复习阶段，应做还题目分类，同时逐步掌握分类对数学思想方法的理解。,