突破相似问题的策略分析（一） 成都八中 刘元国一、 教学目标针对近年成都中考A卷20题，分析考试题目的结构和考点的特征。从三角形的边角关系入手，分析常见几何“K”字模型中全等三角形和相似三角形的证明方法，完成相关线段长度的求解。并将其拓展到变换的图形中，进行深入探究，从而提高初三学生的几何分析能力和解题技巧。二、 教学重难点重点：全等三角形、相似三角形的性质和判定难点：角等的证明，成比例线段的应用，辅助线的添加方法，计算中方程（组）的建立三、 教学过程（一） 基本技能（组织学生快速阅读近两年中考20题的问题，发现其结构特点）1、 常见“K”字模型例1BC中，直线m经过点A，过B、C作直线m的垂线段，垂足分别是D、E，若，则_； Am ED C 若，则_； BDEABC若， 则_ _。 证明：ABD+BDA+DAB = 180， mEAD DAB+BAC+CAE = 180 ABD =CAE 又BDA =CEA=，BDAAEC 。【设计意图】引导学生归纳常见的数学模型，由特殊到一般，在图形的变换中掌握全等三角形和相似三角形的证明，熟悉角等的证明方法（同角的余角相等，三角形外角和定理）。2、 旋转与辅助线的添加例2 是正方形边上的一点（不与重合），且，连接并将绕点顺时针旋转得线段，则的长为_。FACBDPEM 分析：由旋转知，PD=PE，正方形ABCD中，AD=AB，可构造全等三角形。 方法一（作垂线段构造全等直角三角形）：过E作，交AB的延长线于F，则DAPPFE， AP=EF，AD=PF，又AB=AP+PB，AD=PB+BF，AP=BF ，BF=EF=，即BFE是等腰直角三角形，则。 方法二（截取等长线段构造全等三角形）： 在AD上截取DM=PB，可证MDP=BPE，则DMPPBE， MP=BE，再证AM=AP，即AMP是等腰直角三角形，则。【设计意图】在几何的旋转问题中加深对“K”字模型的理解，总结常见的辅助线添加方法（作垂线段构成全等直角三角形、截长补短法构造全等三角形），并学会灵活添加辅助线。（二） 攻略赏析（2012成都） 如图，ABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形，且BAC =EDF =90，DEF的顶点E与ABC的斜边BC的中点重合。将DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q。（1）如图，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：BPECQE；（2）如图，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：BPECEQ；（3）在（2）的条件下，当，时，点P、Q两点间的距离(用含的代数式表示)。分析：考点：相似三角形与全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；旋转的性质。 解：（1）证明：ABC是等腰直角三角形 B=C=45，AB=AC AP=AQ ，BP=CQE是BC的中点，BE=CE在BPE和CQE中，BPECQE（SAS）；（2）解：ABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形B=C=DEF=45BEQ=EQC+C即BEP+DEF=EQC+C，BEP+45=EQC+45BEP=EQCBPECEQ 。 （3）解：BPECEQ ， ， ，连接PQ，中，。【设计意图】带领学生赏析中考题，发现其考点结构和特点，将基本技能应用于此，做到有的放矢。拓展训练1：将“两个全等的等腰直角三角形”改成“顶角为120的两个全等等腰三角形”，问题（2）的结论成立吗？拓展训练2：在不添加字母的情况下，图有几对相似三角形？证明：由（2）知 BPECEQ ， BE=EC，又PEQ=PBE PEQPBE，BPECEQEPQ。【设计意图】从边角关系再探究相似三角形的证明方法等角的夹边对应成比例。拓展训练3：若线段AB与EF的交点为M，求的值。 分析：由CEQEPQ知，PQE=EQC，即QM是PQA的角平分线， 则。（此处的证明留给学生课后思考）【设计意图】再次利用相似问题研究线段的比例问题，通过一题多变，发散学生思维。（三） 随堂练习（2013成都）如图，点B在线段AC上，点D、E在AC同侧，A=C=90，BDBE，AD=BC。（1）求证：AC=AD+CE；（2）若AD=3，CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQDP，交直线BE于点Q ，当点P与A、B两点不重合时，求的值。分析：考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质（1）根据同角的余角相等求出1=E，再利用“角角边”证明ABD和CEB全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=CE，然后根据AC=AB+BC整理即可得证；（2）过点Q作QFBC于F，根据BFQ和BCE相似可得，然后求出，再根据ADP和FPQ相似可得，整理得到（APBF）（5AP）=0，从而求出AP=BF，最后利用相似三角形对应边成比例可得，得解。解：（1）证明：BDBE1+2=18090= 90C = 902+E=18090= 901=E在ABD和CEB中，ABDCEB（AAS）AB = CEAC =AB+BC = AD+CE ；（2）如图，过点Q作QFBC于F，则BFQBCE， ，BDBEADP+FPQ=18090= 90FPQ+PQF=18090= 90ADP=FPQ，又A =PFQ = 90ADPFPQ，即 整理得 （APBF）（AP5）= 0点P与A，B两点不重合，AP5，AP = BF由ADPFPQ得 。（提示：四点共圆、建立平面直角坐标系也可解此问）【设计意图】继续品味中考题，学会在计算中建立方程。在熟练掌握解题方法和技巧的同时，提高计算能力。鼓励学生思考其他的解法，力求一题多解。四、 归纳小结1、 有哪些证明角等的方法？2、 学会了哪些解题技巧？五、 课后作业六、 板书设计突破相似问题的策略分析（一）（一） 基本技能 例1. 分析: 例2. 分析:（二） 攻略赏析（2012 成都） 解：(详细过程)（三）随堂练习