第二十一章 一元二次方程 21.2.4一元二次方程的根与系数的关系,一、新课引入,1一元二次方程ax2bxc0(a0)的求根公式是 . 2设一元二次方程ax2bxc0(a0)的两个根是 x1、x2，则x1= x 2= .,1,2,二、学习目标,掌握一元二次方程根与系数的关系， 并学会其运用,培养分析、观察以及利用求根公式进行 推理论证的能力,三、研读课文,1、解方程2x2 -3 x + 1= 0得 x1= ，x2 = _ x1+x2= ，x1x2= _,观察得出： 方程2x2 -3 x + 1= 0的两根的和等于一次项系数 -3与二次项系数2的 ，两根的积 等于常数项1与二次项系数2的 .,知识点一,一元二次方程 ，当 时， 由求根公式可知方程的两根为,因此，方程的两根 ，和系数 有如下的关系：,一元二次方程根与系数的关系 (韦达定理）,推论1,在使用根与系数的关系时，应注意： 不是一般式的要先化成一般式； 在使用X1+X2= 时， 注意“ ”不要漏写。,三、研读课文,例4 根据一元二次方程的根与系数的关系，求 下列方程两根x1，x2的和与积. （1）x2-6x-150 ；（2）3x27x-90； （3）5x -14x2. 解:（1）a= 1 b= -6 c= -15 x1+x2= = ， x1x2 = = _ （2）x1+x2= ， x1x2= _ （3）方程化为4x2-5 x1=0 x1+x2= ， x1x2= _,知识点二,练一练 不解方程，求下列方程两根的和与积 (1)x2-3x=15 (2)3x2+2=1-4x (3)5x2-1=4x2+x (4)2x2-x+2=3x+1 解：,知识点二,三、研读课文,如果方程x2pxq0的两根是x1，x2， 那么x1x2 ，x1x2 可得：p ，q ， 方程x2pxq0， 即 x2（ ）xx1x20 这就是说，以两个数x1，x2为根的一元二次 方程(二次项系数为1)是 x2(x1x2)xx1x2=0,练一练 以3和2为根的一元二次方程是_,知识点三,四、归纳小结,1、设一元二次方程ax2bxc0的 两个根是x1、 x2 ， 则x1x2 = x1x2= _ 2、以两个数x1，x2为根的一元二次方程(二次项系 数为1)是 . 3、学习反思： _,五、强化训练,1、如果x1、x2是一元二次方程 的 两个实数根，则x1+x2=_， x1x2=_,2、关于x的方程的 x1=2，x2=1, 则p = _，q = _,五、强化训练,3、利用根与系数的关系，求一元二次方程 2x23x-10的两个根的 （1）平方和； （2）倒数和. 解：设方程的两个根分别为x1，x2， 则：x1 + x2= ， x1x2=_ （1）（x1 + x2）2= x12+ 2 + x22 x12 + x22=（x1+x2）2 - 2_ = _ _ = _ (2),五、强化训练,4、已知方程5 x2k x-60的一个根为2，求它的 另一个根及k的值； 解：设方程的另一个根是x1，那么 x1=_ 又x1+2= k=_,1、如果-1是方程2X2X+m=0的一个根，则另 一个根是_，m =_。 2、设 X1、X2是方程X24X+1=0的两个根，则 X1+X2 = _ ,X1X2 = _， X12+X22 = ( X1+X2)2 - _ = _ ( X1-X2)2 = ( _ )2 - 4X1X2 = _ 3、判断正误： 以2和-3为根的方程是X2X-6=0 （ ） 4、已知两个数的和是1，积是-2，则这两个数是 _ 。,X1+X2,2X1X2,-3,4,1,14,12,2和-1,基础练习,（还有其他解法吗？）,5、以方程X2+3X+2=0的两个根的相反数为根的方 程是（ ） A、y2+3y-2=0 B、 y23y+2=0 C、y2+3y+2=0 D、 y23y-2=0,此题还有其他解法吗？,B,换元法：,基础练习,设y=-x，则x=-y，将其代入X2+3X+2=0，,得y23y+2=0 ，即为所求方程。,6. 已知2x2+3x-6=0的两根是x1 ,x2 ， 不解方程求下列各式的值。,（1）,（2）,7、如果 是方程2X2+mX+3=0的一个根，求它的另一个根及m的值.,4,1,14,12,题,则：,应用：一求值,另外几种常见的求值,求与方程的根有关的代数式的值时, 一般先将所求的代数式化成含两根之和, 两根之积的形式,再整体代入.,以 为两根的一元二次方程 (二次项系数为1)为:,二 已知两根求作新的方程,题5 以方程X2+3X-5=0的两个根的相反数为根的方程是（ ） A、y23y-5=0 B、 y23y-5=0 C、y23y5=0 D、 y23y5=0,B,分析:设原方程两根为 则:,新方程的两根之和为,新方程的两根之积为,求作新的一元二次方程时: 1.先求原方程的两根和与两根积. 2.利用新方程的两根与原方程的两根之 间的关系,求新方程的两根和与两根积. (或由已知求新方程的两根和与两根积) 3.利用新方程的两根和与两根积, 求作新的一元二次方程.,题6 已知两个数的和是1，积是-2，则两 个数是 。,2和-1,解法(一):设两数分别为x,y则:,解得:,x=2 y=1,或,1 y=2,解法(二):设两数分别为一个一元二次方程 的两根则:,求得,两数为2,三 已知两个数的和与积，求两数,题7 如果1是方程 的一个根，则另一个根是_=_。,（还有其他解法吗？),-3,四 求方程中的待定系数,题8 已知方程 的两个实数根 是 且 求k的值。,解：由根与系数的关系得 X1+X2=-k， X1X2=k+2 又 X12+ X2 2 = 4 即(X1+ X2)2 -2X1X2=4 K2- 2(k+2）=4 K2-2k-8=0, = K2-4k-8 当k=4时， 0 当k=-2时，0 k=-2,解得：k=4 或k=2,题9 在ABC中a,b,c分别为A, B,C 的对边,且c= ,若关于x的方程 有两个相等的实数根,又方程 的两实数根的平方和为6,求ABC的面积.,五 综合,题9 方程 有一个正根，一个负根，求m的取值范围。,解:由已知,=,即,m0 m-10,0m1,一正根，一负根,0 X1X20,两个正根,0 X1X20 X1+X20,两个负根,0 X1X20 X1+X20,考题链接,B,D,A,