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复 数试题类编1.设复数z1=1+i,z2=i,则arg等于( )A. B. C. D.2.复数z=(mR,i为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.如果(,),那么复数(1i)(cosisin)的辐角的主值是( )A.B.C.D.4复数(i)3的值是( )A. iB.iC.1D.15.如图121,与复平面中的阴影部分(含边界)对应的复数集合是( )图1216.已知复数,则arg是( )A. B.C.D.7.设复数z11i在复平面上对应向量,将按顺时针方向旋转后得到向量,令对应的复数z2的辐角主值为,则tan等于( )A.2 B.2 C.2D.28.在复平面内,把复数3i对应的向量按顺时针方向旋转,所得向量对应的复数是( )A.2 B.2i C.3i D.3+i9.复数z(i是虚数单位)的三角形式是( )A.3cos()isin()B.3(cosisin)C.3(cosisin)D.3(cosisin)10.复数z13i,z21i,则zz1z2在复平面内的对应点位于( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限11.设复数z12sinicos(在复平面上对应向量,将按顺时针方向旋转后得到向量,对应的复数为z2r(cosisin),则tan等于( )A.B. C.D.12.复数i的一个立方根是i,它的另外两个立方根是( )A. B. C. D.13.复数等于( )A.1+i B.1+i C.1i D.1i14.设复数z=i(i为虚数单位),则满足等式zn=z且大于1的正整数n中最小的是( )A.3 B.4 C.6 D.715.如果复数z满足|z+i|+|zi|=2,那么|z+i+1|的最小值是( )A.1 B. C.2 D.二、填空题16.已知z为复数,则z+2的一个充要条件是z满足 .17.对于任意两个复数z1x1y1i,z2x2y2i(x1、y1、x2、y2为实数),定义运算“”为:z1z2x1x2y1y2设非零复数w1、w2在复平面内对应的点分别为P1、P2,点O为坐标原点如果w1w20,那么在P1OP2中,P1OP2的大小为 18.若zC,且(3z)i1(i为虚数单位),则z 19.若复数z满足方程i=i1(i是虚数单位),则z=_.20.已知a=(i是虚数单位),那么a4=_.21.复数z满足(1+2i)=4+3i,那么z=_.三、解答题22.已知z、w为复数,(13i)z为纯虚数,w,且|w|5,求w23.已知复数z1i,求实数a,b使az2b(a2z)224.已知z71(zC且z1).()证明1zz2z3z4z5z60;()设z的辐角为,求coscos2cos4的值.25.已知复数z1i(1i)3.()求argz1及|z1|;()当复数z满足|z|1,求|zz1|的最大值.26.对任意一个非零复数z,定义集合Mzw|wz2n1,nN()设是方程x的一个根,试用列举法表示集合M;()设复数Mz,求证:MMz27.对任意一个非零复数z,定义集合Mzw|wzn,nN()设z是方程x+=0的一个根,试用列举法表示集合Mz若在Mz中任取两个数,求其和为零的概率P;()若集合Mz中只有3个元素,试写出满足条件的一个z值,并说明理由28.设复数z满足|z|5,且(34i)z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上,|zm|5(mR),求z和m的值.29.已知复数z01mi(M0),zxyi和xyi,其中x,y,x,y均为实数,i为虚数单位,且对于任意复数z,有,|2|z|()试求m的值,并分别写出x和y用x、y表示的关系式;()将(x,y)作为点P的坐标,(x,y)作为点Q的坐标,上述关系式可以看作是坐标平面上点的一个变换:它将平面上的点P变到这一平面上的点Q.当点P在直线y=x+1上移动时,试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程;()是否存在这样的直线:它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上?若存在,试求出所有这些直线;若不存在,则说明理由.30.设复数z3cosi2sin.求函数yargz(0)的最大值以及对应的值.31.已知方程x2(4i)x4ai0(aR)有实数根b,且z=a+bi,求复数(1ci)(c0)的辐角主值的取值范围.32.设复数z满足4z+2=3+i,=sinicos(R).求z的值和|z|的取值范围.33.已知复数z1满足(z12)i=1+i,复数z2的虚部为2,且z1z2是实数,求复数z2的模.34.已知向量所表示的复数z满足(z2)i=1+i,将绕原点O按顺时针方向旋转得,设所表示的复数为z,求复数z+i的辐角主值.35.已知复数z=i,w=i,求复数zw+zw3的模及辐角主值.36.已知复数z=i,=i.复数z,z23在复数平面上所对应的点分别是P、Q.证明:OPQ是等腰直角三角形(其中O为原点).37.设虚数z1,z2满足z12=z2.(1)若z1、z2是一个实系数一元二次方程的两个根,求z1、z2;(2)若z1=1+mi(m0,i为虚数单位),=z22,的辐角主值为,求的取值范围.38.设z是虚数,w=z+是实数,且12.()求|z|的值及z的实部的取值范围;()设u=,求证:u为纯虚数;()求wu2的最小值.39.已知复数z1、z2满足|z1|=|z2|1,且z1+z2=i.求z1、z2的值.40.设复数z=cos+isin,(,2).求复数z2+z的模和辐角.41.在复平面上,一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1,Z2,Z3,O(其中O是原点),已知Z2对应复数z2=1+i,求Z1和Z3对应的复数.42.已知z=1+i,()设w=z2+34,求w的三角形式.()如果=1i,求实数a,b的值.43.设w为复数,它的辐角主值为,且为实数,求复数w.答案解析1.答案:B解析一:通过复数与复平面上对应点的关系,分别求出z1、z2的辐角主值.argz1=,argz2=.所以arg0,2),arg.解析二:因为.在复平面的对应点在第一象限.故选B评述:本题主要考查复数的运算法则及几何意义、辐角主值等概念,同时考查了灵活运用知识解题的能力,体现了数形结合的思想方法.2.答案:A解析:由已知z=(m4)2(m+1)i在复平面对应点如果在第一象限,则而此不等式组无解.即在复平面上对应的点不可能位于第一象限.3.答案:B解析:(1i)(cosisin)(cosisin)(cosisin)cos()isin()(,) (,)该复数的辐角主值是4.答案:C解法一:(i)3(cos60isin60)3cos180isin1801解法二:,5.答案:D6.答案:D解法一:解法二: 应在第四象限,tan,argarg是7.答案:C解析:argz1,argz2tantantan75tan(4530)8.答案:B解析:根据复数乘法的几何意义,所求复数是9.答案:C解法一:采用观察排除法.复数对应点在第二象限,而选项A、B中复数对应点在第一象限,所以可排除.而选项D不是复数的三角形式,也可排除,所以选C.解法二:把复数直接化为复数的三角形式,即10.答案:D解析:11.答案:A解析:设z12sinicos|z1|(cosisin),其中|z1|,sin()z2|z1|cos()isin()r(cosisin)tan12.答案:D解法一:i=cos+isini的三个立方根是cos(k=0,1,2)当k=0时,;当k=1时,;当k=2时,.故选D.解法二:由复数开方的几何意义,i与i的另外两个立方根表示的点均匀地分布在以原点为圆心,1为半径的圆上,于是另外两个立方根的虚部必为,排除A、B、C,选D.评述:本题主要考查了复数开方的运算,既可用代数方法求解,也可用几何方法求解,但由题干中的提示,几何法解题较简捷.13.答案:B解法一:,故(2+2i)4=26(cos+isin)=26,1,故.于是,所以
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