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26.反比例函数构建知识体系与习题训练反比例函数面积与K值辽宁省兴城市三道沟满族乡初级中学 高冬教材分析:反比例函数是初中阶段最后一个函数类型,在中考时常常以填空题和选择题的形式予以呈现,其中包含了对数形结合、建模、几何直观、分类、转化等思想方法的考察,而反比例函数的面积与k值是近年来考察的重点。针对教材上没有系统的归纳反比例函数图形面积与k值的关系及其相应的习题,我结合实际对本章的知识作以拓展和补充。学情分析: 学生已经掌握了反比例函数中k的代数意义,并且已经初步具备了观察、归纳、推理的能力,但是学生灵活的转化能力和建模、数形结合、类比的思想意识还比较薄弱,教学中需要教师予以关注,因材施教,适当的引导、强化,进而培养学生形成较强的解题能力。学习目标:1.知识与能力目标:了解反比例函数解析式中k的几何意义,理解反比例函数k与图形面积的内在联系,掌握运用数形结合的方法解决反比例函数与图形面积问题。2.过程与方法目标:通过探索反比例函数与图形面积的内在联系,理解k的几何意义,体会数形结合、建模思想在数学应用中的重要地位。3.情感态度价值观目标:在探究活动中培养学生学会观察、分析、归纳的能力,培养学生数学类比和建模思想,感悟数形结合思想方法,在问题变式中感受函数图像的简洁美。教学重点:探究反比例函数中k与图形面积的关系。教学难点:分析图像中信息,灵活确定k与图形面积的关系。教学方法:自主探究、合作交流、讲授启发教学过程:一、创设情境,明确任务.数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休。数形结合、模型思想历来是我们中考数学考察的重点,今天让我们共同走进数形结合的动态数学模型世界。板书课题:反比例函数面积与K值设计意图:以数学家华罗庚的名言入手,“短、平、快”的交代本节课的学习任务,明确学习重点。二、初探k值,构建模型.(一)模型一:矩形面积与k值教师依次出示3个探究问题,引导学生思考.1如图,点C是反比例函数图像第一象限上的一点,轴,垂足为A,轴,垂足为B.(1)若点C的横坐标为1,则四边形CAOB的面积= (2)若点C是反比例函数图像第一象限上的一个动点,那么还能够求出四边形AOBC的面积吗?说明理由.学生独立思考问题1,口算(笔算)汇报结论,学生汇报结果后教师用几何画板演示验证结论,引导学生观察。2.点F是反比例函数图像第三象限上的一点,轴,垂足为E,轴,垂足为P.你还能够求出四边形FEOP的面积吗?说明理由.学生独立思考问题2,汇报结论。3.通过以上题目的探究,你认为从反比例函数图像取一点作两轴的垂线,两条垂线和坐标轴围成的矩形面积与k值有什么关系呢?小组简单合作交流问题3,尝试用文字、数学符号语言等归纳矩形面积特征。教师板书:设计意图:教师依次出示探究问题,从特殊到一般,从静到动,从算到验,逐步引导学生思考探究,借助几何画板的强大的计算、动态演示功能,从数形结合的角度,直观认识矩形的面积与k值的关系,深入体会知识的形成过程。即时反馈:1.如图,点A在反比例函数上,轴,垂足分别为点C、B,若四边形ACOB的面积为3,则k= 小反思:学生汇报后教师追问:你觉得这道题的易错点是什么呢?利用面积求k应该注意什么呢?变式1. 点A在反比例函数上,过点A作两轴的平行线,若两平行线与坐标轴围成的四边形面积为4,则k= 小反思:学生汇报后教师追问:你觉得这道题的易错点是什么呢?同第一题的区别是什么?应注意什么?变式2.如图,点P是反比例函数上异于点A的一动点,问,在运动的过程中,四边形ACMF的面积与四边形PFBE的面积有什么关系?简要说理学生独立思考为主,组内可适当交流,获得问题的答案,同时总结易错点,构建相对严谨的知识体系。设计意图:及时反馈,把握易错点,通过习题变式深入体会反比例函数中k与图形面积的关系。(二)直角三角形面积与k值教师出示探究问题:如图,点C是反比例函数图像第一象限上的一点,轴,垂足为B.请求出OBC的面积。若k=-4呢?你能发现直角三角形的面积与k值的关系吗?学生类比矩形面积的探究,在独立思考与组内交流中归纳结论。教师板书:设计意图:类比矩形的面积与k值的关系,学生自学探究直角三角形的面积与k值的关系。即时反馈:如图,点A是反比例函数图像第一象限内一点,轴于点B,点C是y轴上一点,连接AC、BC,则ABC的面积为 变式:若C是y轴上一动点,ABC的面积是否发生变化,请简要说明理由三、活用k值,应用模型.1.如图,点A是反比例函数图像上一点,AD平行于x轴交图像于点D,轴于点B,轴于点C,则四边形ABCD的面积= (割补 )2.如图,点A是反比例函数图像上一点,AD平行于x轴交图像于点D,点C、B在x轴上,且,则四边形ABCD的面积= ;(平移,同底等高)当CB在x轴上移动时,四边形ABCD的面积 (填变大、变小、不变) 3.如图,点A是反比例函数第一象限上一点,点C是x轴上一定点,当点A 的横坐标逐渐增大时,四边形ABCO的面积如何变化( )(割补)A逐渐变大 B.逐渐变小 C.不变 D.先变小后变大4.点A是反比例函数的图像在第一象限内一点,绕点A旋转,交x轴于点C,交y轴于点B,且点A的横坐标为2.(旋转,割补)如图1,当轴时,四边形ABOC的面积= 如图2,在旋转的过程中,当交x轴正半轴于点C,交y轴正半轴于点B时,四边形ABOC的面积是否发生变化?如不变化,请求出四边形ABOC的面积,如不能说明理由.如图3,在旋转的过程中,当交x轴,负半轴于点C,交y轴正半轴于点B时,试探究ABP与COP之间的关系.5.如图,直线y=kx(k0)与反比例函数的图像相交于点A、C,轴于点B,连接BC,则ABC的面积= (中心对称,中点等底同高等面积)如果绕点O转动直线y=kx,且直线y=kx仍交反比例函数图像第一象限于点A,请问,ABC的面积是否发生变化?6.在第5题的基础上,若轴,连接AD,则四边形ABCD的面积= (割补)设计意图:由静到动,由简单到复杂,通过利用旋转、平移、割补等手段,灵活运用面积与k值的关系解决反比例函数面积问题,从“变中有不变”中体会利用模型解题的灵活与快捷性。四、强化模型,直击中考1.(2016锦州)直线AB经过远点O,与双曲线交于A、B两点,轴于点C,且ABC的面积是8,则k= 2.(2013鞍山)如图,在反比例函数(x0)的图像上,点B在反比例函数的图像上,且AM:MB=1:2,则k的值为( )A.3 B.-6 C.2 D.6设计意图:初步体会反比例函数中考命题方向,增强学习自信心。五、质疑反思,畅谈体会 可以利用旋转、平移、对称等方式将图形面积割补成矩形和直角三角形面积研究,构建解题模型。设计意图:归纳知识方法,构建知识体系。六、布置作业编制一道利用反比例函数k值求面积的问题设计意图:利用自编习题,深入体会反比例函数面积与k值的关系。七、板书设计 反比例函数面积与K值
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