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盘点“比较函数值大小的方法”杨光冬 湖北省孝感市肖港初级中学 邮编432023初中数学第二十八章锐角三角函数学完后,整个第三学段的函数就结束了. 每年中考前的系统复习中, 我们经常遇到比较两函数值(或多个函数值)大小的考题,学生遇到这类题型得分率虽然较高,但笔者在课堂教学中发现,学生对这类题型的掌握并不系统,针对这种现象,笔者在此对比较函数值大小的比较方法作一个总的盘点,希望对大家的教学有所帮助.一、同一函数中比较函数值的大小解法1:运用增减性比大小例1:点A(-3,y1)、B(-5,y2)均在双曲线上,试比较y1和y2的大小. 解析:因为反比例函数的图象是双曲线,在每个象限内,y随x的减小而增大 且点A(-3,y1)、B(-5,y2)在第三象限的同一支曲线上,所以.例2:点A(-3,y1)、B(-5,y2)均在抛物线上,试比较y1和y2的大小.解析:因为抛物线的对称轴是直线,其开口向上,所以在对称轴左侧的抛物线上y随x的减小而增大,因此.解法2:运用正负性比较反比例函数值的大小例3:点A(-3,y1)、B(1,y2)均在双曲线上,试比较y1和y2的大小.xyO1-2A(-2,y1)5x=13.5B(3.5,y2)C(5,y3)432.5图(1)解析:因为反比例函数的图象是双曲线,在每个象限内,y随x的减小而减小, 但是点A(-3,y1)、B(1,y2)不在同一支曲线上,所以不能用增减性比较和的大小. 又因为A(-3,y1)、B(1,y2)分别位于第二、第四象限的图象上,所以,因此.解法3:运用距离比较二次函数值的大小例4:点A(-2,y1)、B(3.5,y2)、C(5,y3)均在抛物线y=x2-2x-3上,试比较y1、y2和y3的大小. 解析:因为点A(-2,y1)、B(3.5,y2)、C(5,y3)不在对称轴(直线)同侧的抛物线上,所以不能直接用增减性比较y1和y2、y3的大小,此时我们可以用抛物线的对称性将A(-2,y1)先转化到对称轴右侧的抛物线上,使A、B、C三点在对称轴的同侧,ABCA/图(2)再用抛物线的增减性比较y1、y2和y3的大小;也可以先求出-2、3.5、5和1的距离:、. 因为抛物线开口向上,所以距离越大,说明相对应的点越高,其纵坐标越大(反之,若抛物线开口向下,所以距离越大,说明相对应的点越低,其纵坐标越小). 因此点C(5,y3)最高,点B(3.5,y2)最低,所以可得y3y1y2.解法4:运用动态的图形分析三角函数值的大小例5:当时,试比较和的大小解析:如图(2),RtABC中,C=90O,当B逐渐增大时,其邻边BC不变,斜边逐渐增大BA/BA,所以. 这说明当锐角逐渐增大时,其余弦值逐渐减小,所以当时,lABCA/C/图(3)我们还可以用图(3),类比探究锐角的正弦和正切值的增减性.二、比较不同函数值的大小(一)预备知识:1、比较不同函数值大小的前提条件:当自变量x相等时,才能比较不同函数值的大小.xyOxy1y2xy1y2A(3,5)图(4)例6:如图(4),直线与直线相交于A(3,5),试比较与的大小.解析:如图,经过A点作直线lx轴当x=3时,=当x3时,由图象可看出当x3时,由图象可看出3和 x、?解析:分别经过A、B两点作x轴的垂线. 以这两条垂线和y轴为分界线,将自变量x的取值范围分为六个区域,每个区域x的取值范围如图(5)所示:在第、区域内,两函数值分别相等;yxOA(-2,m),B(3,n),x-2-2x00x3x=-2x=33-2图(5)因为在、区域内,直线在曲线的上面,所以因为在、区域内,直线在曲线的下面,所以因此,当x=-2或x=3时,=当x-2或0x当-2x3时,由以上分析过程,我们可得到三线六域中的三个结论:结论一:在六个区域中,当x的值分别等于两交点横坐标时,两函数值相等;结论二:在、区中,、区结果相同,、区结果相同,结论三:、区的结果与、区的结果相反.有了以上归纳的三个结论,今后,我们只需分析一个区域的结果,就能推导出其余区域的结果了.(三)三线六域的类比应用xyOB(-1,n)A(3,m)x-1-1x33-1x=-1x=3图(6)当直线和抛物线相交时,我们可以类比三线六域得到两线五域. 而且两线五域的结论和三线六域的结论是一致的.例8:如图,抛物线和直线相交于A(3,m),B(-1,n),当x分别取何值时,y1= y2、y1 y2?解析:分别经过A、B两点作x轴的垂线.因为抛物线是一条连续的图象,所以只能以两条垂线作为分界线把自变量x的取值范围分为五个区域,类比例7,观察每个区域,同理可得:当x=-1或x=3时,即在第、区域内,=当x3时,即在第、区域内,当-1x3时,即在第区域内,此结果和例7所得结论是一致的.
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