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第一章部分课后习题参考答案16 设p、q的真值为0;r、s的真值为1,求下列各命题公式的真值。 (1)p(qr) 0(01) 0 (2)(pr)(qs) (01)(11) 010. (3)(pqr)(pqr) (111) (000)0(4)(rs)(pq) (01)(10) 00117判断下面一段论述是否为真:“是无理数。并且,如果3是无理数,则也是无理数。另外6能被2整除,6才能被4整除。”答:p: 是无理数 1 q: 3是无理数 0 r: 是无理数 1 s:6能被2整除 1t: 6能被4整除 0 命题符号化为: p(qr)(ts)的真值为1,所以这一段的论述为真。19用真值表判断下列公式的类型:(4)(pq) (qp)(5)(pr) (pq)(6)(pq) (qr) (pr)答: (4) p q pq q p qp (pq)(qp) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式(5)公式类型为可满足式(方法如上例)(6)公式类型为永真式(方法如上例)第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型,对不是重言式的可满足式,再用真值表法求出成真赋值.(1) (pqq)(2)(p(pq)(pr)(3)(pq)(pr)答:(2)(p(pq))(pr)(p(pq)(pr)ppqr1 所以公式类型为永真式(3) P q r pq pr (pq)(pr)0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1 所以公式类型为可满足式4.用等值演算法证明下面等值式:(2)(pq)(pr)(p(qr)(4)(pq)(pq)(pq) (pq)证明(2)(pq)(pr) (pq)(pr)p(qr)p(qr)(4)(pq)(pq)(p(pq) (q(pq)(pp)(pq)(qp) (qq)1(pq)(pq)1(pq)(pq) 5.求下列公式的主析取范式与主合取范式,并求成真赋值(1)(pq)(qp)(2)(pq)qr(3)(p(qr)(pqr)解:(1)主析取范式(pq)(qp) (pq)(qp) (pq)(qp) (pq)(qp)(qp)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq) (0,2,3) 主合取范式: (pq)(qp) (pq)(qp) (pq)(qp) (p(qp)(q(qp) 1(pq) (pq) M1 (1) (2) 主合取范式为: (pq)qr(pq)qr (pq)qr0 所以该式为矛盾式. 主合取范式为(0,1,2,3,4,5,6,7) 矛盾式的主析取范式为 0 (3)主合取范式为:(p(qr)(pqr) (p(qr)(pqr)(p(qr)(pqr)(p(pqr)(qr)(pqr) 11 1 所以该式为永真式. 永真式的主合取范式为 1 主析取范式为(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14. 在自然推理系统P中构造下面推理的证明: (2)前提:pq,(qr),r结论:p (4)前提:qp,qs,st,tr结论:pq证明:(2)(qr) 前提引入qr 置换qr 蕴含等值式r 前提引入q 拒取式pq 前提引入p(3) 拒取式证明(4):tr 前提引入t 化简律qs 前提引入st 前提引入qt 等价三段论(qt)(tq) 置换(qt) 化简q 假言推理qp 前提引入p 假言推理(11)pq 合取 15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理:(1) 前提:p(qr),sp,q结论:sr证明s 附加前提引入sp 前提引入p 假言推理p(qr) 前提引入qr 假言推理q 前提引入r 假言推理16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理:(1)前提:pq,rq,rs 结论:p证明:p 结论的否定引入pq 前提引入q 假言推理rq 前提引入r 化简律rs 前提引入r 化简律rr 合取由于最后一步rr 是矛盾式,所以推理正确.第四章部分课后习题参考答案3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:(1) 对于任意x,均有2=(x+)(x).(2) 存在x,使得x+5=9.其中(a)个体域为自然数集合. (b)个体域为实数集合.解:F(x): 2=(x+)(x). G(x): x+5=9.(1)在两个个体域中都解释为,在(a)中为假命题,在(b)中为真命题。(2)在两个个体域中都解释为,在(a)(b)中均为真命题。4. 在一阶逻辑中将下列命题符号化:(1) 没有不能表示成分数的有理数.(2) 在北京卖菜的人不全是外地人.解:(1)F(x): x能表示成分数 H(x): x是有理数命题符号化为: (2)F(x): x是北京卖菜的人 H(x): x是外地人命题符号化为: 5. 在一阶逻辑将下列命题符号化: (1) 火车都比轮船快. (3) 不存在比所有火车都快的汽车. 解:(1)F(x): x是火车; G(x): x是轮船; H(x,y): x比y快命题符号化为: (2) (1)F(x): x是火车; G(x): x是汽车; H(x,y): x比y快命题符号化为: 9.给定解释I如下: (a) 个体域D为实数集合R. (b) D中特定元素=0. (c) 特定函数(x,y)=xy,x,y. (d) 特定谓词(x,y):x=y,(x,y):xy,x,y. 说明下列公式在I下的含义,并指出各公式的真值:(1)(2)答:(1) 对于任意两个实数x,y,如果xy, 那么xy. 真值1.(2) 对于任意两个实数x,y,如果x-y=0, 那么xy. 真值0.10. 给定解释I如下: (a) 个体域D=N(N为自然数集合). (b) D中特定元素=2. (c) D上函数=x+y,(x,y)=xy. (d) D上谓词(x,y):x=y.说明下列各式在I下的含义,并讨论其真值.(1) xF(g(x,a),x)(2) xy(F(f(x,a),y)F(f(y,a),x)答:(1) 对于任意自然数x, 都有2x=x, 真值0.(2) 对于任意两个自然数x,y,使得如果x+2=y, 那么y+2=x. 真值0.11. 判断下列各式的类型:(1) (3) yF(x,y).解:(1)因为 为永真式; 所以 为永真式;(3)取解释I个体域为全体实数F(x,y):x+y=5所以,前件为任意实数x存在实数y使x+y=5,前件真;后件为存在实数x对任意实数y都有x+y=5,后件假,此时为假命题再取解释I个体域为自然数N,F(x,y)::x+y=5所以,前件为任意自然数x存在自然数y使x+y=5,前件假。此时为假命题。此公式为非永真式的可满足式。13. 给定下列各公式一个成真的解释,一个成假的解释。(1) (F(x)(2) x(F(x)G(x)H(x)解:(1)个体域:本班同学F(x):x会吃饭, G(x):x会睡觉.成真解释F(x):x是泰安人,G(x):x是济南人.(2)成假解释(2)个体域:泰山学院的学生F(x):x出生在山东,G(x):x出生在北京,H(x):x出生在江苏,成假解释.F(x):x会吃饭,G(x):x会睡觉,H(x):x会呼吸. 成真解释.第六章部分课后习题参考答案5.确定下列命题是否为真:(1) 真 (2) 假(3) 真(4) 真(5)a,ba,b,c,a,b,c 真(6)a,ba,
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