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第二十六章 反比例函数,专题三 反比例函数与勾股定理,1.如图,直线y=2x与双曲线y= (x0)的图象交于点A,且OA= ,求k的值.,解:过A作ABx轴于B,,m2=1,k=m2m=2m2=2.,设A(m,2m),在RtAOB中,m2+(2m)2=( )2,2.如图,直线y=x向右平移b个单位后得到直线l,l与函数y= (x0)的图象相交于点A,与x轴相交于点B,且OA2-OB2 =8,求k的值.,解:连AO,过A作ACx轴于C,,设A(m,n).易知ABC=45,,AC=BC=n,OC=m,则OB=m-n,OA2-OB2=m2+n2-(m-n)2=2mn=8,k=mn=4.,3.如图,点A为双曲线y= (x0)上一点,ABx轴交直线y=x于点B,求AB2-OA2的值.,解:设A(a,b),则B(b,b),,AB2-OA2=(b-a)2-(a2+b2)=-2ab=4.,4.如图,直线y=x-1交x轴于D,交双曲线y= (x0)于B,直线y=2x交双曲线y= (x0)于A,OA=OB,求k的值.,解:设A(a,2a),B(b,b-1),a2=1,由题意得, ,k=a2a=2.,5.如图,反比例函数y= (x0)图象上的两点A、B的横坐标分别为1,3,点P为x轴正半轴上一点,若PA-PB的最大值为2 ,则k的值是多少?,k=3,(k=-3舍去).,解:PA-PB最大时,P在AB延长线上,则AB=2 ,,A(1,k),B(3, ),(k- )2+22=(2 )2,6.如图,B点为双曲线y= (x0)上一点,直线AB平行于y轴,交直线y=x于点A,求OB2-AB2的值.,7.如图,直线y=-x+m与双曲线y=- 相交于C点,与y轴交于B,与x轴交于A点,求BCAC的值.,解:BAO=45,作CDx轴,,解:设B(x1,y1),则AB=x1-y1,OB2= + ,OB2-AB2= + -(x1-y1)2=2x1y1=20.,BECD,CB= BE,AC= AD,设C(x1,y1),BC= ,AC= y1,BCAC=-2x1y1=4.,8.如图,直线y=x向右平移6个单位后得到直线l,l与双曲线y= (x0)相交于点A,与x轴交于点B,求OA2-OB2的值.,解:过A点作ACx轴于C,,AB是由y=x平移得到的,ABC=45,设A(a,b),,OB=a-b,OA2=a2+b2,OA2-OB2=a2+b2-(a-b)2=2ab,ab=6,OA2-OB2=2ab=26=12.,A(a,b)在y= 上,,9.如图,AOC和BAD都是等腰直角三角形,ACO=ADB=90,反比例函数y= 在第一象限的图象经过点B,若OA2-AB2=12,求k的值.,解:设点B的坐标为(x0,y0),,x0=OC+BD,y0=AC-AD=OC-DB,k=x0y0=(OC+BD)(OC-BD)=OC2-BD2,OAC和BAD均为等腰直角三角形,,AO2=2OC2,AB2=2BD2,,B在y= 上,,B在y= 上,,k=OC2-BD2= AO2- AB2= (OA2-AB2)= 12=6.,10.如图,直线y=-x+4交x轴于点A,交y轴于点B,点P为双曲线y= (x0)上一点,PCx轴于C,交AB于点N,PDy轴于D,交AB于点M. (1)求证:OA=OB; (2)当P点运动时,AMBN的值是否发生变化?若不变,求 其值.,解:(1)A(4,0),B(0,4),,OA=OB;,(2)不变,过M作MEx轴于E,,N作NFy轴于F,,则AM= ME,BN= NF,设P(a,b).,AMBN= ME NF= b a=2ab=12.,
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