ThemeGallery PowerTemplate,2-5 信号的广义傅里 叶级数描述,国家“十二五”规划教材信号与系统,2-5 信号的广义傅里叶级数描述,图2-5-1 a)信号；b)信号非零部分的均值分量；c)信号的分量,本书第2讲中指出，任何信号 都可以分解为偶信号分量 和奇信号分量 之和的形式，即 其实，信号分解为信号分量之和的形式，可以更好地展现信号的重要特征。例如，图2-5-1a)所示的信号 被分解为图2-5-1b)和c）所示的信号分量 、 ，这两个信号分量清楚地展示了信号 的两个特性，即信号非零部分的均值分量和信号的斜率。,2-5 信号的广义傅里叶级数描述,将一个复杂信号分解成易于识别且具有简单特性的信号分量需要用到级数理论。假设在区间 内，用一组函数的线性加权组合逼近一个信号，即通过级数,（2-5-1）,逼近信号 。式中 称为基函数（或信号）， 为权系数，通过选择基函数和权系数在区间 内用式（2-5-1）重构（或近似）信号 。显然，可以选择基函数 强调信号的某种具体特性，亦可以选择基函数 作为系统分析用的信号分量。,2-5 信号的广义傅里叶级数描述,（2-5-1）,应用中组合基函数 的项数选择取决于逼近精度的要求，一般选取的项数越多， 越接近 ，有时使N趋 于无穷大也是必要的。本讲首先考虑基函数 和信号 是实函数的情况，之和再扩展到对复函数信号的讨论。,称为信号的建模误差。 和 在区间 内的近似程度的度量由近似准则确定。应用中一般考虑所谓的似然近似准则，典型的有，,最大误差信号最小值准则：,（2-5-2）,2-5 信号的广义傅里叶级数描述,误差信号最小面积准则：,（2-5-3）,误差信号平方最小面积准则：,（2-5-4）,其中，最小值是对于一组基函数 选择权系数 ，使得 在区间 内尽可能逼近 。另外，式（2-5-2）近似准则基于信号建模误差的最大值，并使建模误差最小化；式（2-5-3）近似准则包括区间内信号的建模误差，并使其包围的面积最小化，因此它比式（2-5-2）有更小的建模误差；式（2-5-4）近似准则基于信号建模误差的能量，其优点在于给较大的建模误差匹配较大的权重，因此它比式（2-5-2）和式（2-5-3）应用更为灵活。,2-5 信号的广义傅里叶级数描述,基于此，本书在后面的讨论中将使用误差信号平方最小面积准则，即式（2-5-4）作为信号建模的误差近似准则，这就意味着对于一组给定的基函数，将调整权系数 使下式给出的平方误差积分为最小,（2-5-5）,注意，上述建模误差的近似准则局限在区间 内，故在区间外求 是没有意义的。若要考虑整个时间轴的近似，请参见第3章相关内容。,2-5 信号的广义傅里叶级数描述,例2-5-1 卫星姿态控制系统的激励信号（电压） 和两个基函数 和 如图2-5-2所示。试求出系数 使级数 在区间 内以平方误差积分准则逼 近 ，已知 。,图2-5-2 卫星姿态控制系统的激励信号和基函数,2-5 信号的广义傅里叶级数描述,解：由图2-5-2已知,因此，对于 ，有,以及,欲使 为最小，需要计算,可求出,将其带入 中，得到,原信号 和逼近信号 的波形如图2-5-3a)所示。,2-5 信号的广义傅里叶级数描述,对于 ，有,以及,欲使 为最小，需要联立计算,2-5 信号的广义傅里叶级数描述,联立解上述方程，得到,将它们带入 ，得到积分平方误差为,原信号和逼近信号的波形如图2-5-3b)所示。,图2-5-3 a) 时 和 的波形；b) 时 和 的波形,2-5 信号的广义傅里叶级数描述,由图2-5-3可见，在积分平方误差意义上，在区间 内， 时 更为接近 。另外， 由 减小 到 也说明了这一点。,例2-5-1在信号重构过程中分别用一项和二项对信号 进行了逼近。可以发现，当用二项逼近时，随着第二项的加入导致了第一项的系数发生了变化，这是由于选定了特殊基函数的结果。为便于计算，工程中希望在为提高信号建模精度不得不增加更多项时，前面各项的系数不会发生变化。级数展开中的这种系数的不变性可以避免系数的重复计算问题。,2-5 信号的广义傅里叶级数描述,例2-5-2 例2-5-1中的基函数由图2-5-4给出时，重新计算系数 使级数 在区间 内以平方误差积分准则逼近 ，已知 。,图2-5-4 基函数,2-5 信号的广义傅里叶级数描述,解：对于 ，有,以及,欲使 为最小，计算,求出,将其带入 中，得到,原信号 和逼近信号 的波形如图2-5-5a)所示。,2-5 信号的广义傅里叶级数描述,以及,对于 ，有,欲使 为最小，需要联立计算,2-5 信号的广义傅里叶级数描述,将它们带入 ，得到积分平方误差为,原信号和逼近信号的波形如图2-5-5b)所示。,图2-5-5,2-5 信号的广义傅里叶级数描述,本例中对于选定的基函数，当增加第二项时，第一项的系数 保持不变。而例2-5-1中的基函数则不具备系数不变性。一组基函数的系数不变性在数学上就是区间的正交性。,定义：实数基函数 在区间 是正交的，当且仅当,（2-5-6）,式中 。,2-5 信号的广义傅里叶级数描述,为了说明基函数的正交性与基函数的系数不变性的等价关系，不妨针对例2-5-1和例2-5-2中的基函数进行讨论。在例2-5-1中，当 时，即 时，由式（2-5-6）可得,和,当 ，即 时，由式（2-5-6）可得,故例2-5-1中的基函数不是正交的，其系数也不是不变的。,2-5 信号的广义傅里叶级数描述,在例2-5-2中，当 时，由式（2-5-6）可得,当 时，由式（2-5-6）可得,故例2-5-2中的基函数是正交的，其系数也是不变的。,和,2-5 信号的广义傅里叶级数描述,应用中往往需要在某个区间 中寻求一个信号的近似函数。因为广义傅立叶级数是一组正交基函数的集合，因此，在区间 中用信号的广义傅立叶级数展开作为原信号的近似函数就需要得到使 为最小的广义傅立叶级数的系数。,广义傅立叶级数是一组正交基函数的线性加权和。这一组基函数在某个区间 通过使信号建模误差平方的积分 为最小来逼近原信号。一个信号在区间 中的广义傅立叶级数一般称之为信号在这个区间的广义傅立叶级数展开，区间 称为级数的展开区间。,2-5 信号的广义傅里叶级数描述,文献【G.E. Carlson】给出这个系数公式如下：,（2-5-7）,式中， 。从该式可以看出，系数 只取决于基函数 ，与其它基函数无关。,当用N项逼近原信号 时，信号建模误差平方的积分 为,（2-5-8）,2-5 信号的广义傅里叶级数描述,解：首先由式（2-5-6）可以给出,例2-5-3 针对例2-5-2中给出的正交基函数，试用式（2-5-7）和式（2-5-8）计算其广义傅立叶级数展开的系数 和误差平方的积分 。,根据式（2-5-7）计算 ，可得出,2-5 信号的广义傅里叶级数描述,和,最后，误差平方积分 为,可以看出，计算结果和例2-5-2中相同。,2-5 信号的广义傅里叶级数描述,下面引入完备性的概念。如果一个基函数的集合对所有存在广义傅立叶级数展开的信号当 时有 ，则称该基函数集是完备的。换句话说，对一个完备的基函数集可以通过在其广义傅立叶级数展开式中增加项数使得误差平方积分趋于任意小。注意， 是指信号建模误差的能量趋于零，但不能理解为当 对任意时间坐标t有 。 对任意时间坐标t均趋于 的条件将在第三章中讨论。,当用一组完备的正交基函数集对信号建模时，在定义区间各级数项的能量之和等于信号的能量。,2-5 信号的广义傅里叶级数描述,式（2-5-9）等式左端为信号在区间 内的能量。而广义傅立叶级数展开式中第i项提供的能量是,因此，当 时必有 ，由式（2-5-8）可得,或者,（2-5-9）,（2-5-10）,因此，式（2-5-9）表明在区间 内信号的能量等于广义傅立叶级数展开式中各项能量之和。这个结论就是著名的帕斯瓦尔定理。,2-5 信号的广义傅里叶级数描述,