1.7 定积分的简单应用 1.7.1 定积分在几何中的应用,类型一 不分割型图形面积的求解 【典例1】(1)用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是( ),(2)计算由曲线y=x2与y2=x所围成图形的面积.,【解题指南】(1)把阴影分成(a,b)和(b,c)两部分求解. (2)为了确定出积分的上、下限，我们需要求出两条曲线的交点的横坐标.,【解析】(1)选D.因为xa,b时，f(x)0,xb,c时，f(x)0， 所以S=,(2)作出草图，所求面积为阴影部分的面积. 解方程组 得到交点横坐标为x=0及x=1. 所以S=S曲边梯形OABC -S曲边梯形OABD,【方法总结】1.利用定积分求平面图形面积的步骤 (1)根据题意画出图形 (2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限 (3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和 (4)计算定积分，写出答案,2.不分割型图形的面积计算 (1)由一条曲线y=f(x)(其中f(x)0)与直线x=a,x=b(a b)以及x轴所围成的曲边梯形的面积：S= f(x)dx (如图(1).,(2)由一条曲线y=f(x)(其中f(x)0)与直线x=a,x=b(ab)以及x轴所围成的曲边梯形的面积： (如图(2).,(3)由两条曲线y=f(x),y=g(x)(f(x)g(x)与直线x=a,x=b(ab)所围成的曲边梯形的面积： (如图(3),注意：(1)(2)两种情况可以统一为(3)只需g(x)=0或f(x)=0.,【巩固训练】已知二次函数yf(x)的图象如图所示，求它与x轴所围成的图形的面积.,【解析】由题干图知，f(x)1x2，所以,【补偿训练】计算(y1)2x1及yx所围成的平 面图形的面积,【解析】将已知条件改写为xy以及x(y1)21，由图知所求面积为阴影部分的面积,解方程组 得交点的纵坐标为 y10及y23， 因此，阴影部分面积,类型二 分割型图形面积的求法 【典例2】(1)如图所示，正弦曲线y=sin x，余弦曲线 y=cos x与两直线x=0，x=所围成的阴影部分的面积 为( ) A.1 B. C.2 D.2,(2)(2017乐安高二检测)求由抛物线y=-x2+4x-3及其在点M(0，-3)和N(3，0)处的两条切线所围成的图形的面积.,【解题指南】(1)一般情况下，定积分 f(x)dx的几何 意义是介于x轴、曲线y=f(x)以及直线x=a，x=b之间的 曲边梯形面积的代数和，其中在x轴上方的面积等于该 区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分 值的相反数，所以在用定积分求曲边梯形面积时，一 定要分清面积与定积分是相等还是互为相反数.若是两,个函数之间的面积，直接求两函数差的定积分即可(上面函数为被减数,下面函数为减数). (2)求出两切线的交点，把待求图形的面积分为两部分来求.,【解析】(1)选D.由图形以及定积分的意义，得到所求阴影部分面积等价于,(2)因为y=-2x+4, 所以过点(0，-3)的切线斜率为4，过点(3，0)的切线 斜率为-2，切线方程分别为y=4x-3，y=-2x+6, 由 得两切线交点为( ,3)， 则所求图形的面积为S= (4x-3)-(-x2+4x-3)dx+ (-2x+6)-(-x2+4x-3)dx= .,【延伸探究】 1.本例(2)中求由抛物线y=-x2+4x-3与x轴围成的图形的面积. 【解析】由y=-x2+4x-3=0得x=1或x=3， 所以所求的图形的面积为,2.本例(2)中连接MN,则直线MN与两条切线围成的三角形被抛物线y=-x2+4x-3分成的两部分的比为多少？,【解析】由本例(2)知，上半部分的面积为 ，可求得 直线MN的方程为y=x-3，所以抛物线与直线间的面积为 所以上下两部分的面积比为,【方法总结】两条曲线围成的平面图形的面积的解题思路和步骤 (1)思路：在求平面图形的面积时,如果平面图形的曲边部分由两条不同的曲线构成,则应分两段分别求面积，然后相加,这时在相应的两段积分区间上分别用不同的被积函数.,(2)步骤: 作出示意图(弄清相对位置关系); 求交点坐标，确定图形范围(积分的上限、下限)； 写出平面图形的定积分表达式； 运用微积分基本定理计算定积分，求出面积.,【补偿训练】求抛物线y2=2x与直线y=4-x围成的平面图形的面积.,【解析】由 得交点为(2，2)，(8，-4) 所以,类型三 定积分在几何中的综合应用 【典例3】(1)(2015福建高考)如图， 点A的坐标为(1，0)，点C的坐标为(2， 4)，函数f(x)=x2，若在矩形ABCD内随 机取一点，则此点取自阴影部分的概 率等于_.,(2)(2017黄冈高二检测)已知二次函数f(x)=ax2+bx+ c，直线l1：x=2，直线l2：y=-t2+8t(其中0t2，t为常数)，若直线l1，l2，y轴与函数f(x)的图象所围成的封闭图形(阴影部分)如图所示. 求a，b，c的值; 求阴影面积S关于t的函数S(t)的解析式.,【解题指南】(1)先求出矩形的面积，再用定积分求出阴影区域的面积，最后求出此点取自阴影部分的概率. (2)根据二次函数过点(0，0)，(8，0)并且最大值为16，列方程组解a,b,c;根据题意确定被积函数；并求出交点坐标；再求出平面图形的面积.,【解析】(1) S矩形ABCD =14=4,所以此 点取自阴影区域内的概率 答案：,(2)由图形可知二次函数的图象过点(0,0)，(8,0)，并且f(x)的最大值为16，则,由 得x2-8x-t(t-8)=0， 所以x1=t，x2=8-t， 因为0t2， 所以直线l2与f(x)的图象左边交点坐标为(t，-t2+8t),由定积分的几何意义知：,【方法总结】解决与曲边图形有关的综合问题的基本思路 解决与曲边图形有关的综合问题,关键是要正确分析题意,先分清是求曲边图形面积,还是利用曲边图形面积解决其他问题,再正确作出图形,确定积分区间和被积函数,然后根据条件,建立等量关系或方程,进行求解.,【巩固训练】在曲线y=x2(x0)上的某一点A处作一切 线，使之与曲线以及x轴所围成图形的面积为 .试 求：切点A的坐标和过切点A的切线方程.,【解析】如图所示，设切点A(x0,y0),由y=2x得过A点的切线方程为y-y0=2x0(x-x0), 即y=2x0x-x02. 令y=0，得x= ,即C( ,0). 设由曲线和过A点的切线及x轴所围成 图形的面积为S，则S=S曲边AOB -SABC.,S曲边AOB= SABC = 即 所以x0=1. 从而切点A为(1,1)，切线方程为y=2x-1.,【补偿训练】(2017西安高二检测)如图所示，直线 y=kx分抛物线y=x-x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值.,【解析】抛物线y=x-x2与x轴两交点的横坐标为x1=0，x2=1， 所以，抛物线与x轴所围图形的面积 又抛物线y=x-x2与y=kx两交点的横坐标为 x3=0，x4=1-k，,所以， 又知S= ，所以(1-k)3= ， 于是,【课堂小结】 1.知识总结,2.方法总结 求由两条曲线围成的平面图形的面积的步骤： (1)画图形. (2)确定图形的范围，求出交点的坐标，定出积分上、下限.,(3)确定被积函数. (4)写出平面图形面积的定积分表达式. (5)运用微积分基本公式计算定积分.,