多媒体技术基础(第4版),林福宗 linfz 2017年3月,第6章 小波与小波变换,2,小波与小波变换 小波(wavelet)是1975年发明的术语，小波变换是80年代奠定数学基础、90年代开始得到迅速应用的数学工具，广泛用在图像处理和语音分析等众多领域 小波变换是继傅里叶分析之后信号表示方法的重大突破，无论是对古老的自然学科还是对新兴的高新技术应用学科，都产生了强烈冲击和深远的影响 小波理论是应用数学的一个新领域。要深入理解小波理论需要用到相当多的数学知识。本章试图从工程应用角度出发，根据笔者的学习体会和笔记，用比较直观的方法来介绍小波变换和它的应用,2019年9月24日3时19分,多媒体技术基础 第4版,第6章 小波与小波变换,6.1 小波介绍 6.1.1 小波是什么 6.1.2 著名小波 6.1.3 小波简史 6.2 小波变换 6.2.1 小波变换是什么 6.2.2 连续小波变换 6.2.3 小波基函数 6.2.4 离散小波变换 6.2.5 小波重构,6.3 哈尔小波变换 6.3.1 哈尔小波基函数 6.3.2 一维哈尔小波变换 6.3.3 规范化算法 6.4 二维哈尔小波变换 6.4.1 二维小波变换举例 6.4.2 二维小波变换方法 参考文献和站点,3,2019年9月24日3时19分,多媒体技术基础 第4版,6.1 小波介绍,6.1.1 小波(wavelet)是什么 在有限时间范围内变化且其平均值为零的数学函数 具有有限的持续时间和突变的频率和振幅 在有限的时间范围内，它的平均值等于零,4,图6-1 小波与正弦波,2019年9月24日3时19分,多媒体技术基础 第4版,6.1 小波介绍(续),6.1.2 著名小波 许多缩放函数和小波函数以开发者的名字命名，例如， Moret小波函数是Grossmann和Morlet在1984年开发的 db6缩放函数和db6小波函数是Daubechies开发的,图6-2 部分著名小波,5,2019年9月24日3时19分,多媒体技术基础 第4版,6.1 小波介绍(续),6.1.3 小波简史 小波发展史是函数表达方法的发展史 函数表达是一个老课题 Fourier(傅里叶, 17681830)用正弦和余弦波表示 Haar(哈尔, 18851933)用方形小波表示 Morlet (19312007)用小波表示 在理论创建和工程应用方面，做出杰出贡献的教授和科学家包括 1970年代涌现的George Zweig, Jean Morlet, Alex Grossmann 1980年代及其后涌现的 Yves Meyer，Stphane Mallat, Ingrid Daubechies，Ronald Coifman，Ali Akansu，Victor Wickerhauser,6,2019年9月24日3时19分,多媒体技术基础 第4版,6.1 小波介绍(续),1. 在1807年 约瑟夫傅里叶(Joseph Fourier)揭示了一个极其重要的原理，一个函数可表示成一系列正弦和余弦函数之和 【例】一个周期性方波可用无穷个正弦函数之和表示,7,图6-3 用三角函数之和表示函数的概念,2019年9月24日3时19分,多媒体技术基础 第4版,6.1 小波介绍(续),2. 在20世纪初 Alfred Haar(阿尔弗雷德哈尔)对在函数空间中寻找一个与傅里叶类似的基(base)非常感兴趣。在1909年，他将方形函数经缩放和平移后的序列用于函数空间，被命名为哈尔小波(Haar wavelet)，将多个相互正交的序列称为小波基 用哈尔小波表示函数的基本概念见图6-4,8,图6-4 用哈尔小波表示函数的概念,2019年9月24日3时19分,多媒体技术基础 第4版,6.1 小波介绍(续),3. 在1946 Dennis Gabor(电气工程师和物理学家，19001979)开发了以他的名字命名的Gabor小波(Gabor wavelet)和Gabor变换(Gabor transform) 用高斯函数(Gaussian function)作为窗口函数(window function)与被分析的信号相乘，使用傅里叶变换导出一小段信号的时间-频率关系，使局部信号的频率和相位情况更清晰 Gabor变换是短时傅里叶变换(short time Fourier transform，STFT)的一个特例 Gabor小波和变换的出现，标志着向用小波表示信号的方向迈进了一步,9,2019年9月24日3时19分,多媒体技术基础 第4版,6.1 小波介绍(续),4. 在1970年代 在法国石油公司工作的年轻的地球物理学家Jean Morlet，在1975年发明了wavelet这个术语，描述他使用的函数 Morlet是小波分析领域中的先驱，在1981年与物理学家Alex Grossman(1930)共同开发现在所称的小波变换 美国物理学家George Zweig (1937)在转向听力研究和神经生物学时，发现了耳蜗变换(cochlear transform)，实际上就是一种类型的连续小波变换,10,2019年9月24日3时19分,多媒体技术基础 第4版,11,5. 1980年代是奠定小波理论的时代 法国数学家和科学家Yves Meyer(1939)被称为小波理论之父，在开发小波理论和多分辨率分析方面，扮演了举足轻重的作用。与他的同事在1986年创造性地构造出具有一定衰减性的光滑小波函数，把母小波缩放(scale)的倍数与平移(shift)的位置均为2j (j0的整数)，构造了L2(R)空间的规范正交基 出生于法国的教授和科学家Stephane Mallat对小波理论的发展做出了极其重要的贡献。尤其是他和Meyer合作开发了多分辨率分析方法，从空间上形象说明了小波的多分辨率的特性，提出了正交小波的构造方法和快速算法，称为Mallat算法，统一了在此之前构造正交小波基的所有方法，其地位相当于快速傅里叶变换(FFT)在经典傅里叶分析中的地位,2019年9月24日3时19分,多媒体技术基础 第4版,6.1 小波介绍(续),出生于比利时的Ingrid Daubechies(1954)是一位女性物理学家、数学家和教授。她使用正交镜像滤波器(quadrature mirror filter，QMF)技术，构造了计算量不大的连续小波，并以正交Daubechies小波和小波图像压缩而闻名于世。1988年发表了她最先揭示的小波变换和滤波器组(filter banks)之间的内在关系，使离散小波分析变成为现实的分析工具,12,2019年9月24日3时19分,多媒体技术基础 第4版,6.1 小波介绍(end),6. 在1990年代 在构造小波和开发小波变换算法中，比利时成长的年轻学者Wim Sweldens在1994年的博士论文中首先提出了“The Lifting Scheme”，简称lifting scheme (提升法)。这是设计小波和执行离散小波变换的技术，它将设计小波滤波器和执行小波变换的步骤合并在一起，降低了计算时间，被称为第二代小波变换 在把小波理论引入到工程应用方面 Inrid Daubechies，Ronald Coifman，Ali Akansu和Victor Wickerhauser等教授和科学家做出了不可磨灭的贡献，使小波在诸如图像和声音信号处理中得到广泛应用,13,2019年9月24日3时19分,多媒体技术基础 第4版,6.2 小波变换,6.2 小波变换 6.2.1 小波变换是什么 6.2.2 连续小波变换 6.2.3 小波基函数 6.2.4 离散小波变换 6.2.5 小波重构,14,2019年9月24日3时19分,多媒体技术基础 第4版,6.2 小波变换(续）,6.2.1 小波变换是什么 小波变换(wavelet transform，WT)是用小波对函数在空间和时间上进行局部化分析的数学变换 小波变换通过平移母小波获得信号的时间(位置)信息，通过缩放母小波的宽度(或称尺度)获得信号的频率特性。对母小波的缩放和平移是为了计算小波的系数 傅里叶变换提供信号包含的频率信息，但时间方面的局部化信息基本丢失。小波变换继承和发展了傅里叶变换、哈尔变换和短时傅里叶变换(STFT)的思想，不仅可提供信号包含的频率，而且还可提供信号的时间和频率之间的关系,15,2019年9月24日3时19分,多媒体技术基础 第4版,6.2 小波变换(续）,6.2.2 连续小波变换 连续小波是指没有经过数字化的小波 ，连续小波变换(CWT)是用连续小波表示函数的数学变换，用于对连续函数在时间和空间上进行局部化分析。理解CWT可从傅里叶级数和傅里叶变换开始 1. 傅里叶变换 傅里叶级数是用简单的三角函数之和来表示函数的方法。简单是指三角函数可用振幅、频率和相位三个要素表示即可 可把任意的周期函数或周期信号分解成一系列正弦和余弦函数之和。例如，方波函数 可用正弦波函数之和来表示,16,2019年9月24日3时19分,多媒体技术基础 第4版,17,图6-5 方波可用一系列正弦函数之和表示,2019年9月24日3时19分,多媒体技术基础 第4版,6.2 小波变换(续）,18,多媒体技术基础 第4版,2019年9月24日3时19分,6.2 小波变换(续）,只有频率分辨率而没有时间分辨率 可确定信号中包含哪些频率的信号，但不能确定具有这些频率的信号出现在什么时候 一个函数可用频率不同的正弦波之和表示，这些正弦波称为傅里叶变换的基函数(basis function)。 基函数是函数空间中的基本元素，函数空间中的每个连续函数都可表示为基函数的线性组合 正如在矢量空间中，每个矢量可表示为基本矢量的线性组合。,19,2019年9月24日3时19分,多媒体技术基础 第4版,6.2 小波变换(续）,2. 小波变换的概念 傅里叶分析把一个信号分解成频率不同的正弦波，正弦波是傅里叶变换的基函数。小波分析把一个信号分解成一系列小波之和，这些小波是母小波经过移位和缩放之后的小波，同样可以用作表示函数的基函数。 凡能用傅里叶分析的函数都可用小波分析，小波变换可理解为用一系列小波代替傅里叶变换中的正弦波。 用不规则的小波分析变化激烈的信号，比用平滑的正弦波更有效，对信号的基本特性描述得更准确。,20,图6-6 傅里叶分析与小波分析使用的基函数,2019年9月24日3时19分,多媒体技术基础 第4版,在数学上连续小波变换可用下式表示， 该式含义：(1) 小波变换是信号f(t) 与缩放和平移的小波函数之积在信号存在的整个期间里求和。(2) 连续小波变换(CWT)的结果是小波的系数C，这些系数是缩放因子(scale)和位置(position)的函数。 缩放因子：如用a表示缩放因子，对于正弦函数，,21,2019年9月24日3时19分,多媒体技术基础 第4版,6.2 小波变换(续）,CWT的变换过程示例，见图6-7，可分如下5步 小波 (t)和原始信号f(t)的开始部分进行比较 计算系数C该部分信号与小波的近似程度；C值越高表示信号与小波相似程度越高 小波右移k得到的小波函数为 (t-k) ，然后重复步骤1和2，直到信号结束 扩展小波，如扩展一倍，得到的小波函数为 (t/2) 重复步骤14,图6-7 连续小波变换的过程,22,2019年9月24日3时19分,多媒体技术基础 第4版,图6-8 连续小波变换分析图,6.2 小波变换(续）,小波系数、缩放因子和时间之间的关系见图6-8 图(a)：用二维图像表示的小波变换分析图，x轴表示沿信号的时间方向上的位置，y轴表示缩放因子，每个x-y点的颜色深浅表示小波系数C的幅度。图(b)：用三维图像表示的小波变换分析图，z轴表示小波变换之后的系数 缩放因子小，表示小波比较窄，频率比较高，度量的是信号细节；相反，缩放因子大，表示小波比较