第十七章 一元二次方程知识点第一节 一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数（一元） ，并且未知数的最高次数是 2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程三个条件：（）是整式方程（）含有一个未知数（）未知数的最高次数是，三个条件缺一不可。一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程， 经过整理， 都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a 0） 这种形式叫做一元二次方程的一般形式一个一元二次方程经过整理化成 ax2+bx+c=0（a 0）后，其中 ax2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项把一元二次方程化成一元二次方程的一般形式时，常要利用去括号、移项、合并同类项等步骤，同时注意项与项的系数。一元二次方程的解叫做一元二次方程的根第二节 一元二次方程的解法知识点 1 特殊的一元二次方程的解法直接开平方法运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次” ，转化为两个一元一次方程由应用直接开平方法解形如 x2=p（p0） ，那么 x= 转化为应用直接开平方法解形如（ mx+n）p2=p（p0） ，那么 mx+n= ，达到降次转化之目的因式分解法知识点 2 一般的一元二次方程的解法1 配方法：解方程 ax2+bx+c=0 (a0)的一般步骤是：2.一元二次方程的求根公式问题：已知 ax2+bx+c=0（a 0）且 b2-4ac0，试推导它的两个根 x1= ，x 2=24bac4bca由上可知，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）的根由方程的系数 a、b、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式 ax2+bx+c=0，当 b-4ac0 时， 将 a、b、c 代入式子 x= 就得到方程的根24bca（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根3 .一元二次方程根的判别式求根公式：x= ，当 b2-4ac0 时，根据平方根的意义， 等于一个具体数，24bac 24bac所以一元一次方程的 x1= x 1= ，即有两个不相等的实根当 b2-24bac4ac=0 时， 根据平方根的意义 =0，所以 x1=x2= ，即有两个相等的实根；当 b2-4ac0 时，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0） 有两个不相等实数根即 x1=，x 2= 24baca （2）当 b-4ac=0 时，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）有两个相等实数根即 x1=x2= ba（3）当 b2-4ac0 时，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）没有实数根第三节 一元二次方程的应用知识点 1 二次三项式的因式分解1、二次三项式形如 ax2bx c(a0)的多项式叫做 x 的二次三项式2、二次三项式因式分解的公式如果一元二次方程 ax2bxc=0(a0) 的两个实数根为 x1、x 2，则 从而得到二次三项式因式分解公式：ax 2 bxc=a(xx 1)(xx 2)(a0)条件对于二次三项式当=b 24ac0 时，能分解因式；当=b 24ac0 时，不能分解因式3、用公式法分解二次三项式的步骤(1)求二次三项式 ax2bxc 所对应的一元二次方程 ax2bxc=0 的两根 x1、x 2(2)将求得的 x1、x 2 的值代入因式分解的公式 ax2bxc=a(xx 1)(xx 2)即可说明：(1)在二次三项式的因式分解时，注意不要丢掉公式中的二次项系数 a(2)要注意公式中 x1、x 2 前面的符号和 x1、x 2 本身的符号不要混淆(3)把 x1、x 2 的值代入公式后，能化简整理的可以化简整理1、二次三项式的因式分解例 1、 ；(2)4y 28y1分析：这两个二次三项式都需要用公式法分解因式解：(1)方程 的根是(2)方程4y 28y1=0 的两根是点拨：(1)解方程时，如果二次项系数是负数，一般可将其化为正数再解，这样可提高解方程的准确性，如解4y 28y1=0 可化为 4x28y1=0 再解；(2)写出二次三项式的分解因式时，不要漏掉第一个因数“4”(3)把 4 分解为 22，两个 2 分别乘到每个括号内恰好能去掉两个括号内的分母，从而使分解式得到简化，要注意学习这种变形的技巧和变形过程中符号改变2、形如 Ax2BxyCy 2 的因式分解例 2、分解因式 5x22xyy 2分析：形如 Ax2BxyCy 2 的多项式叫做关于 x,y 的二元二次多项式，我们可以选择其中一个变元作为未知数，另一个就看作已知数，这样一来，就可将多项式 Ax2BxyCy 2 看作二次三项式来分解，如本题可看作关于 x 的二次三项式，其中 a=5，b= 2y，c=y 2解：关于 x 的方程 5x22xyy 2=0 的根是 点拨：本题将 y 视为常数，是利用公式法分解因式的需要，即把 x 视为主元，称为“主元法”，这样便于用公式解题例 3、分解因式 3x2y210xy4；分析：将 3x2y210xy4 转化为关于 xy 为元的二次三项式，实际上是利用换元法进行因式分解解：关于 xy 的方程 3(xy)210xy4=0 的根是 ，3、二次三项式因式分解的灵活运用例 4、二次三项式 3x24x2k，当 k 取何值时，(1)在实数范围内能分解； (2)不能分解；(3)能分解成一个完全平方式，这个完全平方式是什么？分析：(1)二次三项式在实数范围内能因式分解的条件是方程有实数根，即=b 24ac0 ；(2) 不能分解的条件是0；(3)=0 时，二次三项式是完全平方式解：=( 4) 2432k=1624k(1)当0 时，即 1624k0， 时，二次三项式 3x24x2k 在实数范围内能分解因式；(2)当0 时，即 1624k0， 时，3x 24x2k 不能分解因式；(3)当=0 时，即 1624k=0， 时，3x 24x2k 是一个完全平方式当 时，例 5、已知二次三项式 9x2(m6)xm2 是一个完全平方式，试求 m 的值分析：若二次三项式为一个完全平方式，则其判别式=0解：对于二次三项式 9x2(m6)xm2，其中 a=9，b=(m6) ，c=m 2，=b 24ac=(m6) 249(m2)=m 224m108原二次三项式是一个完全平方式，=0，即 m224m108=0，解得 m1=6，m 2=18故当 m=6 或 m=18 时，二次三项式 9x2(m6)x m2 是一个完全平方式点悟：解题规律是：若 b24ac=0，则二次三项式 ax2bxc(a0)是完全平方式；反之，若ax2 bx c(a0)是完全平方式，则 b24ac=0知识点 2 实际应用