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2012年度弹性力学与有限元分析复习题及其答案一、填空题1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。2、在弹性力学中规定,线应变以伸长时为正,缩短时为负,与正应力的正负号规定相适应。3、在弹性力学中规定,切应变以直角变小时为正,变大时为负,与切应力的正负号规定相适应。4、物体受外力以后,其内部将发生内力,它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的,是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量,也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L-1MT-2。5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。10、在弹性力学里分析问题,要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件,分别建立三套方程。11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。12、边界条件表示边界上位移与约束,或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。2、平面问题分为 和 。 平面应力问题 平面应变问题6、在弹性力学中规定,切应变以 时为正, 时为负,与 的正负号规定相适应。 直角变小 变大 切应力7、 小孔口应力集中现象中有两个特点:一是 ,即孔附近的应力远大于远处的应力,或远大于无孔时的应力。二是 ,由于孔口存在而引起的应力扰动范围主要集中在距孔边1.5倍孔口尺寸的范围内。 孔附近的应力高度集中 , 应力集中的局部性 四、分析计算题1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件,并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。(1),;(2),;其中,A,B,C,D,E,F为常数。解:应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件:(1)在区域内的平衡微分方程;(2)在区域内的相容方程;(3)在边界上的应力边界条件;(4)对于多连体的位移单值条件。(1)此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程,必须A=-F,D=-E。此外还应满足应力边界条件。(2)为了满足相容方程,其系数必须满足A+B=0;为了满足平衡微分方程,其系数必须满足A=B=-C/2。上两式是矛盾的,因此,此组应力分量不可能存在。2、已知应力分量,体力不计,Q为常数。试利用平衡微分方程求系数C1,C2,C3。解:将所给应力分量代入平衡微分方程得即由x,y的任意性,得由此解得,4、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件,并考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在。(1),;(2),;(3),;其中,A,B,C,D为常数。解:应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件,即将以上应变分量代入上面的形变协调方程,可知:(1)相容。(2)(1分);这组应力分量若存在,则须满足:B=0,2A=C。(3)0=C;这组应力分量若存在,则须满足:C=0,则,(1分)。5、证明应力函数能满足相容方程,并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计,)。l/2l/2h/2h/2yxO解:将应力函数代入相容方程可知,所给应力函数能满足相容方程。由于不计体力,对应的应力分量为,对于图示的矩形板和坐标系,当板内发生上述应力时,根据边界条件,上下左右四个边上的面力分别为:上边,;下边,;左边,;右边,。可见,上下两边没有面力,而左右两边分别受有向左和向右的均布面力2b。因此,应力函数能解决矩形板在x方向受均布拉力(b0)和均布压力(b0)的问题。6、证明应力函数能满足相容方程,并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计,)。l/2l/2h/2h/2yxO解:将应力函数代入相容方程可知,所给应力函数能满足相容方程。由于不计体力,对应的应力分量为,对于图示的矩形板和坐标系,当板内发生上述应力时,根据边界条件,上下左右四个边上的面力分别为:上边,;下边,;左边,;右边,。可见,在左右两边分别受有向下和向上的均布面力a,而在上下两边分别受有向右和向左的均布面力a。因此,应力函数能解决矩形板受均布剪力的问题。7、如图所示的矩形截面的长坚柱,密度为,在一边侧面上受均布剪力,试求应力分量。Oxybqrg 解:根据结构的特点和受力情况,可以假定纵向纤维互不挤压,即设。由此可知 将上式对y积分两次,可得如下应力函数表达式 将上式代入应力函数所应满足的相容方程则可得这是y的线性方程,但相容方程要求它有无数多的解(全柱内的y值都应该满足它),可见它的系数和自由项都应该等于零,即, 这两个方程要求, 代入应力函数表达式,并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后,便得对应应力分量为 以上常数可以根据边界条件确定。左边,沿y方向无面力,所以有右边,沿y方向的面力为q,所以有上边,没有水平面力,这就要求在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零,即将的表达式代入,并考虑到C=0,则有而自然满足。又由于在这部分边界上没有垂直面力,这就要求在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零,即, 将的表达式代入,则有由此可得,应力分量为, , 虽然上述结果并不严格满足上端面处(y=0)的边界条件,但按照圣维南原理,在稍远离y=0处这一结果应是适用的。9、如图所示三角形悬臂梁只受重力作用,而梁的密度为,试用纯三次的应力函数求解。Oxyarg解:纯三次的应力函数为相应的应力分量表达式为, , 这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。现在来考察,如果适当选择各个系数,是否能满足应力边界条件。上边,没有水平面力,所以有对上端面的任意x值都应成立,可见同时,该边界上没有竖直面力,所以有对上端面的任意x值都应成立,可见因此,应力分量可以简化为,斜面,没有面力,所以有由第一个方程,得对斜面的任意x值都应成立,这就要求由第二个方程,得对斜面的任意x值都应成立,这就要求(1分)由此解得(1分),从而应力分量为, , 设三角形悬臂梁的长为l,高为h,则。根据力的平衡,固定端对梁的约束反力沿x方向的分量为0,沿y方向的分量为。因此,所求在这部分边界上合成的主矢应为零,应当合成为反力。可见,所求应力分量满足梁固定端的边界条件。10、设有楔形体如图所示,左面铅直,右面与铅直面成角,下端作为无限长,承受重力及液体压力,楔形体的密度为,液体的密度为,试求应力分量。r2gr1gayxO解:采用半逆解法。首先应用量纲分析方法来假设应力分量的函数形式。取坐标轴如图所示。在楔形体的任意一点,每一个应力分量都将由两部分组成:一部分由重力引起,应当与成正比(g是重力加速度);另一部分由液体压力引起,应当与成正比。此外,每一部分还与,x,y有关。由于应力的量纲是L-1MT-2,和的量纲是L-2MT-2,是量纲一的量,而x和y的量纲是L,因此,如果应力分量具有多项式的解答,那么它们的表达式只可能是,四项的组合,而其中的A,B,C,D是量纲一的量,只与有关。这就是说,各应力分量的表达式只可能是x和y的纯一次式。其次,由应力函数与应力分量的关系式可知,应力函数比应力分量的长度量纲高二次,应该是x和y纯三次式,因此,假设相应的应力分量表达式为, , 这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。现在来考察,如果适当选择各个系数,是否能满足应力边界条件。左面,作用有水平面力,所以有对左面的任意y值都应成立,可见同时,该边界上没有竖直面力,所以有对左面的任意y值都应成立,可见因此,应力分量可以简化为,斜面,没有面力,所以有由第一个方程,得对斜面的任意y值都应成立,这就要求由第二个方程,得对斜面的任意x值都应成立,这就要求由此解得,从而应力分量为 , , 1图示半无限平面体在边界上受有两等值反向,间距为d的集中力作用,单位宽度上集中力的值为P,设间距d很小。试求其应力分量,并讨论所求解的适用范围。(提示:取应力函数为 ) (13分)题三(1)图解:很小,可近似视为半平面体边界受一集中力偶M的情形。将应力函数代入,可求得应力分量: ; ; 边界条件:(1); 代入应力分量式,有 或 (1)(2)取一半径为r 的半圆为脱离体,边界上受有:,和M = Pd由该脱离体的平衡,得将代入并积分,有 得 (2)联立式(1)、(2)求得:,代入应力分量式,得; ; 。结果的适用性:由于在原点附近应用了圣维南原理,故此结果在原点附近误差较大,离原点较远处可适用。由于考前忙于复习,基本不会花时间了解有关信息,等高考结束后,又不知如何了解到有效信息。所以,无论考前还是考后,家长在报考学校这一环节付出精力较多,也愿意出资获取信息帮助孩子多了解高校信息9
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