1第三节误差理论及测量不确定度一、误差理论（一）测量误差1、测量的概念测量是指以确定量值为目的的一组操作。任何测量结果都含有误差，误差自始至终存在于一切科学实验和测量过程之中。测量按获得测量值的方法可分为直接测量、间接测量和组合测量；按测量条件的异同，测量可分为等精度测量和不等精度测量。2、测量误差的概念测量误差是指测量结果减去被测量的真值。常用的误差表示方法有：绝对误差、相对误差和引用误差。（1）绝对误差绝对误差，即测量误差的定义=x ix 0 （2-3-1）式中：绝对误差；xi测量结果或测得值；x0被测量的真值。（2）相对误差相对误差，即测量误差（绝对误差）除以被测量的真值。由于真值通常是未知的，所以实际上用的是约定真值，当误差较小时，约定真值可用测得值代替，并用百分数表示（100%） （2-3-2）ixr 0式中：r相对误差；x0 约定真值；、x i、x 0同式（2-3-1）（3）引用误差引用误差即测量仪器的误差除以仪器的特定值，该特定值一般称为引用值，可以是测量仪器的量程或标称范围的上限。引用误差可用百分数表示为（2-3-3 ）%xmn10r式中：r n测量仪器的引用误差；x测量仪器的绝对误差，常用示值误差表示；xm测量仪器的量程或标称范围的上限。仪器的准确度等级，就是根据它允许的最大引用误差来划分的。0.1 级表，表示该仪器允许的最大引用误差限为 0.1%。以 rnm 表示之（2-3-4）%xrmn10式中：r nm最大引用误差；2x m仪器标称范围内出现的最大示值误差；xm同式（2-3-3） 。3、测量误差的来源测量误差的来源主要是“人、机、料、法、环”五个方面的误差。（1）测量设备误差测量设备本身的结构、工艺、调整以及磨损、老化等所引起的误差。（2）方法误差测量方法不完善，主要为测量技术及操作和数据处理所引起的误差。（3）环境误差测量环境的各种因素，如温度、湿度、气压、含尘量、电场、磁场与振动等所引起的误差。（4）人员误差由测量人员的生理机能和实际操作，如视觉、听觉的的限制或固有习惯、技术水平以及操作失误等所引起的误差。（5）被测对象变化误差被测对象自身在整个测量过程中处在不断变化着，如被测光度灯的光度、被测量块的尺寸等所引起的误差。4、测量误差的分类按误差的性质或出现的规律来分，测量误差可分为二类：系统误差和随机误差。（1）系统误差和随机误差的概念系统误差在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。即(2-3-5)010limxxni 式中： 系统误差；ixi对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值；x0被测量的真值。系统误差按其呈现特征可分为定值系统误差和变值系统误差。定值系统误差可分为恒正定值和恒负定值系统误差；而变值系统误差又可分为线性、周期性和复杂规律系统误差。随机误差测量结果与在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量测得结果的平均值之差。即（2-3-6）xxiniii 1lm式中： 随机误差；ixi测量结果；同式（2-3-5 ） 。测量误差和系统误差、随机误差关系由（2-3-5）式可知： 0xi（2-3-6）式可知： i根据（2-3-1）式： （2-3-7）ii x00由此可知：测量误差等于系统误差和随机误差的代数和。这是 VIM“国际通用计量学基本术语”1993 年第二版所给出的新定义后而成立的。3（二）随机误差和系统误差1、随机误差（1）正态分布1） 、正态分布的特性经统计分析，许多随机误差服从正态分布，它有三种特性：a、对称性：绝对值相等的正负误差出现的可能性相等；b、单峰性：绝对值小的误差出现的可能性大，绝对值大的误差出现的可能性小；c、有界性：随机误差的绝对值不会超过某一界限。2） 、以正态分布为例,统计中常见术语说明（见图 2-3-1）a、置信水准（置信概率、置信水平）以 p 表示；b、显著性水平（置信度）以 表示， =1p；c、置信区间以 k ，k 表示；d、置信因子以 k 表示，当分布不同时，k 值也不同。3） 、正态分布的随机误差表示法实验标准差（见图 2-3-1）密度函数： 21)(ef式中：e 自然对数的底（ e=2.71828） ；随机误差；标准偏差； 2方差。上述正态分布密度函数，又称高斯曲线。数学期望： 0)()(f方差： niix122标准偏差： （2-3-8）1221nxns niii 式中：n测量次数；xi第 i 次测得值；n 次测得值的算术平均值；ni1第 i 次测得值与平均值之差，称为残余误差或残差。xi式（2-3-8）即贝塞尔（ Bessel）公式。由于 n 为有限次，所以以上标准偏差，称为实验标准偏差，亦称标准差或均方根差，对同一量（x）进行有限 (n)次测量 ,其测得值(x i)间的分散性可用标准差 s（x i）来表述。可以导出,测量列平均值 的标准差 比标准差 小 倍，即(xs)(in（2-3-9）nsxi)(值得指出的是， 是 n 次中单次测量的实验标准差，而 是测量列算术平均值的实验)(i )(xS)(f p -3 0 3 图 2-3-1 正 态 分 布 22 4)(f )(f a1 -a 0 a 图 2-3-3 三 角 分 布 标准差。由于随机误差具有抵偿性，故平均值的实验标准差比单次测量值的实验标准差小，且按速度进行。n1分布例子：a、重复条件或复现条件下多次测量的算术平均值分布；b、用扩展不确定度 Up 给出、而对其分布又无特殊指明；c、合成不确定度 uc(y)中，相互独立分量 ui(y)较多，大小接近；d、合成不确定度 uc(y)中，相互独立分量 ui(y)中，存在 2 个界限值接近的三角分布，或 4 个界限值接近的均匀分布；e、合成不确定度 uc(y)中，相互独立分量 ui(y)中，量值较大的分量接近正态分布。（2）非正态分布的随机误差表示方法1)、均匀分布（矩形分布（见图 2-3-2）密度函数： af21)(数学期望： adf0)(2方差： 32122aad标准偏差： (a 为置信水准区间的半宽度 )（2-3-10）3分布例子a、按级使用的仪器仪表最大允许误差导致的不确定度；b、数据修约导致的不确定度；c、数字式测量仪器对示值量化（分辨力）导致的不确定度；d、模拟式仪表读数误差引起的不确定度；e、用上、下界给出的线膨胀系数；f、缺乏任何其它信息时，一般假设为均匀分布。2)、三角分布（见图 2-3-3）密度函数： （-a 0）2a（0a）数学期望： )( 2002 adf() aa方差： aa df020222 6标准偏差： （2-3-11）6分布例子：a、相同修约间隔给出的两独立量之和或之差，由修约导致的不确定度；b、因分辨力引起的两次测量结果之和或差的不确定度；)(f a21 -a 0 a 图 2-3-2 均 匀 分 布 5)(f ba1 -a -b 0 b a 图 2-3-4 梯 形 分 布 )(t )(pt0 )(pt 图 2-3-6 t分 布 )(f -a 0 a 图 2-3-5 反 正 弦 分 布 c、用替代法检定标准砝码、电阻时，两次调零不准导致的不确定度；d、两相同均匀分布的合成。3） 、梯形分布（见图 2-3-4）密度函数：(-a-b)2ba= (-bb)(f1(ba)2ba数学期望： 0标准偏差： （2-3-12 ）)(61622abab式（2-3-12）中：当 b=0 即 =0，则 6a当 a=b 即 =1，则 3分布例子两独立均匀分布（a 2a 1）之和所导致的不确定度；4） 、反正弦分布（见图 2-3-5）密度函数： （-aa）2)(xxf数学期望： 0标准差： （2-3-13）2a分布例子：服从均匀分布变量的正弦或余弦函数，则服从反正弦分布。a、度量偏心引起的测角不确定度；b、正弦振弦引起的位移不确定度；c、无线电中失配引起的不确定度；d、随时间正余弦变化的温度不确定度。5） 、t 分布学生分布（见图 2-3-6）标准偏差 （2-3-24）)(xstp式中：t p置信概率自由度t 分布是一般形式，而标准正态分布 N（0，1）是其特殊形式，t（ ） 成为标准分布的条件是当自由度 趋于。t p（ ） 为临界值，它用于扩展不确定度评定中作为包含因子，即k=tp（ ） 之用。分布例子：在 不 确 定 度 评 定 中 ， 既 有 正 态 分 布 ， 又 有 较 多 的 均 匀 分 布 或 其 他 分 布 时 ， 其 包 含 因 子 用tp（ ） 处 理 。6） 、不同分布与 p、k 、 的关系（见表 2-3-1）表 2-3-1 不同分布与 p、k 、 的关系6分布类型 p (%) k 备注正态 99.73 3 0.3a3 122ns三角 100 60.4a6梯形（ =0.71） 100 2 0.5a2=612a均匀（矩形） 100 30.6a3反正弦 100 20.7a2两点 100 1 1at 分布 99.73 3.96（ =10） 0.25a96.3 )(xs2、系统误差（1）主要特征由系统误差定义和系统误差产生原因的分析可以得出其特征为：系统误差产生在测量之前，具有确定性；多次测量不能减弱和消除它，不具有抵偿性。（2）系统误差的减弱和消除要减弱或消除系统误差，首先应是如何发现系统误差。常用的方法有：实验对比法、残余误差观察法、残余误差校检法、计算数据比较法、秩和检验法、t 检验法等。1）采用加修正值的方法消除系统误差=x i x0x 0=xi+（）所谓修正值就是负的绝对误差，它是用代数法与未修正测量结果相加，以补偿系统误差的值。2）恒定系统误差的减弱和消除方法交换消除法；替代消除法；异号抵消法。3）变值系统误差的减弱和消除方法线性系统误差消除法对称测量法；周期性系统误差消除法半周期偶数测量法。(三)、测量误差小结图（2-3-7）给出了有关测量误差的示意图。由图（2-3-7）可知，任意一个误差均可分解为系统误差 和随机误差 的代数和。图中横坐标表示被测量，x 0 为被测量的真值，x i 为第 i 次ii测得值，样本均值 就是 n 个测量值的算术平均值： ，而总体均值 就是当测量次数nix1n 时统计平均值，或叫数学期望，即： 。设测得值是正态分布 N（，） ，则inlm曲线的形状（按 值）决定了随机误差的分布范围