第三章 多维随机变量及其分布八.课后习题解答及三级测试题答案1.在一箱子中装有 12 只开关，其中 2 只是次品，在其中取两次，每一次任取一只，考虑两种试验：（1）放回抽样；（2）不放回抽样.我们定义随机变量 如下：YX,0,X=一,1Y一试分别就（1） ， （2）两种情况，写出 和 的联合分布律.XY解 由乘法公式容易得 的分布律，易知，放回抽样时),(506PX=61PYY=且 jYPiXiiXjji |, 1,0,ji于是 的分布律为)(XY0 10136253651（）不放回抽样，则 ， ，在第一次抽出一正品后，第650XP61XP二次抽取前的状态：正品 9 个，次品 2 个.故1|0YP20|Y| 1|且 iXPijYjXiYP|1,01,0则 的联合分布律为),(XY 0 10164560610612.盒子里装有 3 只黑球，2 只红球，2 只白球，在其中任取 4 只球，以 表示取到黑X球的只数，以 表示取到红球的只数，求 和 的联合分布律.YXY解 的可能取值为 0，1，2，3， 的可能取值为 0，1，2，总取法为：X 3547C,PPY3512,0203CX,1PYP356,213,1213CYXP50,220311,23CYXP352,023CYXP,120302,3PYXP于是 的联合分布律为Y0 1 2 30 0 0 35521 0 3561232 351 03. 设随机变量 的概率密度为),(YX其 它,042,6),( yxykyxf（1） 确定常数 k；（2） 求 ；3,1YXP（3） 求 ；5.（4） 求 ；4解 （1）由 有1),(dxyf86(204yxkd故 （2） 3,1YXPdxyf)(302,15C= 83)6(81032dyxkd（3） 5.XP4,1Y327)6(85.042dyxd（4） XPDxyf),(32)681204dkd4.将一硬币抛掷三次，以 表示在三次中出现正面的次数，以 表示三次中出现正XY面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出 和 的联合分布律以及 的边缘分布Y),(X律.解 由 为出现正面的次数知，出现反面的次数为 ， X3所以 ， 的值为 0，1，2，3，得 的取值为|32|)3(| XY Y3，1，1，3 且 ，于是5,0b8213, 3PXP1, 213CXY8322,23PXP13,XY而 均为不可能事件，故 和,3,2,1,0 YX X的联合分布律及边缘分布律为Y0 1 2 3 ixp1 0 83830 863 810 0 812ixp38315.设二维随机变量 的概率密度为),(YX其 它,010,28.4),( xyxyxf求边缘概率密度.解 )2(4.)2(8.4),()(0 xdyxdyxff xx 故 其 它,0124.fxdxyfyf)()()10(28.41 xyy注 意 到)3(.y故 其 它,0,)2xxfy6.设二维随机变量 的概率密度为),(YX求边缘概率密度其 它,0),(yxeyxfy解 ，则当 时，dffX),()( 0xxxyXedf)(当 时，由于0)(,0),(ffx，当 时，,)(0yyfYxyYedf0)(在其它情形， 于是，边缘概率密度为其 它,0)(xefyX 其 它,0)(yeyfY 7.设二维随机变量（ ）的概率密度为YX,其 它,01),(2yxCyxf（1）试确定常数 C.（2）求边缘概率密度.解 （1）由 ，有 从而 .12yx102yx1,2yx又由 ),(df有 CdxCyx214)(21412 故 4C（2） )(4),()( 4212xyxyxffX 故 其 它,0,821)(4fX32)(14)()( yydxdxyfyf yY 故 其 它,0127)(5fX8. 将某一医药公司 9 月份和 8 月份收到的青霉素针剂的订货单数分别记为 和 ，XY据以往积累的资料知 和 的联合分布律为YX51 52 53 54 5551 0.06 0.05 0.05 0.01 0.0152 0.07 0.05 0.01 0.01 0.0153 0.05 0.10 0.10 0.05 0.0554 0.05 0.02 0.01 0.01 0.0355 0.05 0.06 0.05 0.01 0.03（1）求边缘分布律；（2）求 8 月份的订单数为 51 时，9 月份订单的条件分布律.解 （1）因为 51,jyjii yYxXpxP可知其边缘分布为 X51 52 53 54 55 Y51 52 53 54 55kp0.18 0.15 0.35 0.12 0.20 kp0.28 0.28 0.22 0.09 0.13因为条件分布律：51/,51| yPxXPyxXPii易知，其条件分布律为i 51 52 53 54 5551|yxXPi 28672852859. 以 记某医院一天出生的婴儿的个数， 记其中男婴的个数，记 和 的联合分YXY布律为)!(6.4.7,1mneYnn ,10;,10n（1）求边缘分布律；（2）求条件分布律；（3）特别，写出当 时， 的条件分布律.20XY解 （1）边缘分布律nmP0,nmne014)!(86.7 nm mn014 ).(14.)!(!nnmCe01486.7!nn).(!14,210,)(!14emnYXPY, mnmne)!(86.14.7)!(.!.14nn014!86.!).7(jjme86.14!).(e!).7(14.me,210注意到 ，这里0!kx 86.x（2）条件分布律, mYPnXYnXPmnmee)14.7(!)!(86.14.7.,)!(.86. n,XPYmYPnmnee)14.7(!)!(86.14.7nnmnC.nm,0,)49.0(51. （3） 2,XYP2,1,).(. Cmnmn10. 求1 例 1 中的条件分布律： iXkYP 解 因为 则41 ,4321,kikYiXPi 2XPXP而由 /, iikikY1 k1 2,XP1 2,XYPk1 2 3 k1 2 3 43,Y 4,Y111.在第 7 题中， （1）求条件概率密度 ，特别写出当 时 的条件概)|(|yxfX2YX率密度；（2）求条件概率密度 ，特别，分别写出当 ， 时 的条件)|(yxfY 31概率密度；（3）求条件概率,21|4XYP,21|43P解 由第 9 题知其 它,0),(2yxyxf 其 它, 1),1(8)(42xxfX其 它,027)(5yyfY从而（1） )(,)|(| yfxfYYX其 它,010,23yxy其 它,13)21|(2| xyxfYX（2） )(,)|(| xfyxfXYX其 它,01,124xyx其 它,09481)3|(| yxyfXY其 它,152)1|(| yxyfXY（3） 2|4XPdyxfY41| )1( 153241y2|3XPxfXY43| )( 57143d12. 设随机变量（ ）的概率密度为,其 它,011),(xyxf求条件概率密度 ，)|(|fXY)|(|yfYX解 10,21)xdyx(yfyY故 )|xX)(/,xffX即 )|(|yfXY其 它,012y)|(|xfYX)(/(fFY即 )|(|yfYX其 它,01xy13. （1）问第 1 题中的随机变量 和 是否相互独立？XY（2）问第 12 题中的随机变量 和 是否相互独立？XY解（1）放回抽样时，两次抽样互不影响，故彼此独立，不放回抽样，每一次抽样对第二次抽样有影响，不相互独立.（2）因为，两边缘概率密度之积为 ),()(yxfy故 和 不相互独立.XY14.设 和 是两个相互独立的随机变量， 在（0，1）上服从均匀分布， 的概率XY密度为0,21)(yefyY（1）求 和 的联合概率密度；X（2）设含有 a 的二次方程为 ，试求 a 有实根的概率02YXa解（1）依题意 其 他,01)(xyfY由于 和 相互独立，因此 和 的联合概率密度为XX其 它,00,12)(),( yxeyfxfyf yY（2）方程 有实根的充要条件为 ，即 ，从2Xa42YXYX2而方程有实根的概率为dxyfYPD),(2 201xyde)0(1(145.015. 进行打靶，设弹着点 的坐标 和 相互独立，且都服从 分布，规),(YXA),(N定点 落在区域 得 分；点 落在A1|,21yxA得 分；点 落在 得 分.以4|),(22yxyD4|),(23yxD0记打靶的得分.写出 ， 的联合概率密度，并求 的分布律ZXYZ解 ， 相互独立Y于是 )(),(yfxyfX221ye )(21yxe1,2DdfYXP12e2012d21e2),(412DxyfYXP212dPe01221e44 22 YXPYXPYXP)()1(212ee的分布律为Z0 1 2kP21e2e)21(e16. 设 和 是互相独立的随机变量，其概率密度分别为XY0,)(xf 0,)(yFY其中 是常数，引如随机变量YXZ， 当当0,1 （1）求条件概率密度 ；（2）求 的分布律和分布函数.)|(|yxfYXZ救（1）因为 和 相互独立，故0,)(|(| xeffxYX（2） 其 他,)(),( )(yyfyxf yYXdxePZy0)(11yeye0)(01则 0ZP故 的分布律为0 1kP1,0,)(zzxFZ17. 设 和 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为XY，其 它,01)(xf 其 它,0)(yefY求随机变量 的概率密度.Z解 由卷积公式知 的概率密度为XdxzfxzfYZ)()(当 时10defzxz0)()(