第三章 离散傅立叶变换一、离散傅立叶级数计算题：1如果 是一个周期为N的周期序列，那么它也是周期为2N的周期序列。把)(nx看作周期为N的周期序列有 （周期为N） ；把 看作周期为2N的)()(1kXnx)(nx周期序列有 （周期为2N） ；试用 表示 。)()(2kXx ）（ ）（ kX2二、离散傅立叶变换定义填空题2某 DFT 的表达式是 ，则变换后数字频域上相邻两个频率样点之10)()(NkklMWxlX间的间隔是（ ） 。3某序列DFT的表达式是 ，由此可看出，该序列的时域长度是（ 10)()(NkklMxl） ，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是（ ） 。4如果希望某信号序列的离散谱是实偶的，那么该时域序列应满足条件（ ） 。 5采样频率为 的数字系统中，系统函数表达式中 代表的物理意义是 HzFs 1z） ，其中时域数字序列 的序号 代表的样值实际位置是（ ） ； 的N)(nx )(nx点DFT 中，序号 代表的样值实际位置又是（ ） 。)kX（ k6用8kHz的抽样率对模拟语音信号抽样，为进行频谱分析，计算了512点的DFT。则频域抽样点之间的频率间隔 为_,数字角频率间隔 为 _和模拟角频率间隔fw_。判断说明题：7一个信号序列，如果能做序列傅氏变换对它进行分析，也就能做DFT对它进行分析。（ ）计算题8令 表示N点的序列 的N点离散傅里叶变换， 本身也是一个N点的序)(kX)(nx)(kX列。如果计算 的离散傅里叶变换得到一序列 ，试用 求 。1nxx)(1n9序列 ，其4点DFT 如下图所示。现将 按下列（1） ， （2） ，0,1)(nx)(kx)(nx（3）的方法扩展成8点，求它们8点的DFT？（尽量利用DFT的特性）（1） )4()nxy73（2） 0)(y0（3） 0)2()nxy奇 数偶 数10设 是一个2N点的序列，具有如下性质：()(nxN另设 ，它的N点DFT为 ，求 的2N点DFT 和)()1nRx)(1kX)(nx)(kX的关系。(kX11试求以下有限长序列的N点DFT（闭合形式表达式）（1） （2） )()(naxN )()(nRxN12计算下列序列的N点DFT： 16P（1） 0,)(xn（2） ， ，mN2cosNnm013已知一个有限长序列 )5()(nx（1） 求它的10点离散傅里叶变换 kX（2） 已知序列 的10点离散傅立叶变换为 ，求序列)(y )()(210kXWY)(ny（3） 已知序列 的10点离散傅立叶变换为 ，求序列nmMm14 （1）已知序列： ，求 的N 点DFT。102si)(nNx，)(nx（2）已知序列： ，则 的9点DFT是2,10nx， 其 它 )(nx正确否？用演算来证明你的结论。8,.9sin3)(2kekXkj ，15一个8点序列 的8点离散傅里叶变换 如图5.29所示。在 的每两个取样值)(x)(kX)(nx之间插入一个零值，得到一个16点序列 ，即ny为 奇 数为 偶 数02（1）求 的16点离散傅里叶变换 ，并画出 的图形。)(ny)(kY)(k（2）设 的长度N为偶数，且有 ，求 。)(kX 12,.0),1() NNXx01234567-1k123416计算下列有限长序列 的DFT，假设长度为N 。)(nx（1） a)( 1n（2） 1,32x17长度为8的有限长序列 的8点DFT为 ，长度为16的一个新序列定义为 )(nx)(kX15,3042)(y试用 来表示 。kX)()(nyDFTkY18 试计算 的离散傅里叶变换 的值304,21)(nNx若 )(x)(kX。),(k证明题：19设 表示长度为N的有限长序列 的DFT。)(kX)(nx（1）证明如果 满足关系式nx)1()Nx则 0)(X（2）证明当N为偶数时，如果)1()nxn则 0)(20令 表示N点序列 的N点离散傅里叶变换，kX)(x（1）证明如果 满足关系式 ，则 。)(n)1(nxn0)(X（2）证明当N为偶数时，如果 ，则 。)() )2(N简答题：21在离散傅里叶变换中引起混迭效应的原因是什么？怎样才能减小这种效应？22试说明离散傅里叶变换与Z变换之间的关系。三、离散傅立叶变换性质填空题：1已知序列 ，序列长度 ，写出序列3,210;,32kkx 4N的值（ ） 。)2(4RxN2已知 ，则 和,3210;,4,;1, knhkn nx的 5 点循环卷积为（ ） 。h3已知 则 的 4,;,1,32,0;,32 kkx hx和4点循环卷积为（ ） 。证明题：4试证N点序列 的离散傅立叶变换 满足Parseval 恒等式 nxkX210210NmNk5 是一个离散傅里叶变换对，试证明离散傅里叶变换的对称性： )(nXkx和1N6 长为N的有限长序列， 分别为 的圆周共轭偶部及奇部，也即)(x )(,nxoe )(x*21)(*)( Nxnee )()nxNoo证明： )(Im)(ReKXjnxDFToe7若 NkxnkX)(,)( 求 证8若 ，求证 。Inx)(1)nRIFT9令 表示N点序列 的N点DFT，试证明：)(k)(x（a） 如果 满足关系式 ，则 。)1()xn0)(X（b） 当N为偶数时，如果 ，则 。(2N10设 ，求证 。)(kXnxDFT)()nxkXDFT11证明：若 为实偶对称，即 ，则 也为实偶对称。(nxk计算题：12已知 ，用圆周卷积法求 和)30()1(),30(1)( ynxn )(nx的线性卷积 。nyz13序列 ，序列 。,2)(为a,2)(为nb（1）求线性卷积 （2）若用基 2 FFT 的循环卷积法（快速卷积）来得到两个序列的线性卷积运算结果，FFT 至少应取多少点？14有限长为N=100的两序列01)(nx90n10)(ny98n做出 示意图，并求圆周卷积 及做图。)(,y )()(yxf15已知 是长度为N的有限长序列， ，现将 的每两点之间nx DFTkX)(nx补进 个零值，得到一个长为 的有限长序列1rrN)(ny0)()rxny 1,0,in求：DFT 与 的关系。 ()(kX16已知 是N点有限长序列， 。现将长度变成 点的有限长)nx )()(nxDFTkXrN序列 (y0)(xn1rNn试求 点DFT 与 的关系。rN)(y)(kX17已知 是N点有限长序列， 。现将 的每两点之间补进nx )()(nxDFT)(x个零值点，得到一个 点的有限长序列1rry0)()nxynNir其 他 1,0,试求 点 DFT 与 的关系。rN()(kX18已知序列 和它的6点离散傅立叶变换)3()2(134) nx 。(kX（1）若有限长序列 的6点离散傅立叶变换为 ，求 。)(y )()(46kXWkY)(ny（2）若有限长序列 的6点离散傅立叶变换为 的实部，即 ，求nu RekXU。)(nu（3）若有限长序列 的3点离散傅立叶变换 ，求 。)(nv )2()kXV),10)(nv19令 表示N点序列 的N点DFT， 本身也是一个N点序列。如果计算)(kXx(的DFT得到一序列 ，试用 表示 。)(1)n)1x20为了说明循环卷积计算（用DFT算法） ，分别计算两矩形序列 的卷积，)()(nRxN如果 ，求)(6nRx（1）两个长度为6点的6点循环卷积。（2）两个长度为6点的12点循环卷积。21设 是一个2N点序列，具有如下性质 )(x )(nxN10N另设 ，它的N 点DFT 为 。)(1nR)1kX求 得2N点 DFT 和 的关系。)(nxkX)(122已知某信号序列 ， ，试计算2,3f 2,43)(nh（2） 和 的循环卷积和 ；)(fhkf（3） 和 的线性卷积和 ；n)(（4）写出利用循环卷积计算线性卷积的步骤。23如图表示一个5点序列 。)(nx（1）试画出 )(nx（2）试画出501234123nx简答题：24试述用DFT计算离散线性卷积的方法。25已知 是两个N点实序列 的DFT值，今需要从 求)(,kYX)(,nyx )(,kYX的值，为了提高运算效率，试用一个N点IFFT运算一次完成。)(,nyx四、频域取样填空题：1从满足采样定理的样值信号中可以不失真地恢复出原模拟信号。采用的方法，从时域角度看是（ ） ；从频域角度看是（ ） 。2由频域采样 恢复 时可利用内插公式，它是用（ )(kX)(je）值对（ ）函数加权后求和。3频域N点采样造成时域的周期延拓，其周期是（ ） 。简答题：4 已知有限长 序列 的 变换为 ，若对 在单位圆上等间隔抽样 点，nxz)(zX)(zM且 ，试分析此 个样点序列对应的 IDFT 与序列 的关系。NM 1nxx5FFT算法的基本思想是什么？6简述时域取样定理和频域取样定理的基本内容。计算题：7设 是长度为M 的有限长序列，其Z变换为)(nx 10)()(MnnZxX今欲求 在单位圆上N个等距离点上的采样值 ，其中Xk解答下列问题（用一个N点的FFT来算出全部的值）,1,0,2keZjk（1）当 时，写出用一个N点FFT分别算出 的过程；M和 )(kZX(2) 若求 的IDFT，说明哪一个结果和 等效，为什么 ?)(kZX)(nx8已知 ，今对其 z 变换 在单位圆上等分采样，采样值为10,anux，求有限长序列 IDFTkNWzk)( )(kX9研究一个长度为M点的有限长序列 ,nxnMx其 他,01)(我们希望计算求z变换 在单位圆上N个等间隔点上的抽样，即10)()(MnnzzX在 上的抽样。当 时，试找出只用一个N点DFT就能计,10,2NkeNj 算 的N个抽样的方法，并证明之。)(zX10已知序列： 。现在对它的Z变换在单位圆上进行N 等分取样，10),()(anux取样值为 ，求有限长序列 的IDFT。kNWzk )(kX11对有限长序列 的Z变换 在单位圆上进行5等份取样，得到取样,1)(xz值 ，即)(kX4,3205kzXW求 的逆傅里叶变换 。)(1nx12设下图所示的序列 的Z变换为 ，对 在单位圆上等间隔的4点上取样得)(zX)(到 ，即)(kX3,210,)(42kzXje试求 的4点离散傅里叶逆变换 ，并画出 的图形。)(1nx)(1nx01234567-1-21nx四、用离散傅立叶变换对连续时间信号逼近问题简答题：1理解DFT分析信号频谱中出现的现象以及改善这