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,2019年9月24日,材料力学,第三章 扭转,第三章 扭 转,3-1 扭转的概念和实例,3-2 扭转内力的计算,3-3 薄壁圆筒的扭转,3-4 圆轴扭转的应力分析及强度条件,3-5 圆杆在扭转时的变形 刚度条件,3-6 密圈螺旋弹簧的应力和变形,3-7 非圆截面杆的扭转,一、工程实例,3-1 扭转的概念及实例,1、螺丝刀杆工作时受扭。,第三章 扭转,3.1 扭转概念与实例,2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。,第三章 扭转,3.1 扭转概念与实例,3、机器中的传动轴工作时受扭。,第三章 扭转,3.1 扭转概念与实例,二、受力特点,杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、 且作用平面垂直于杆件轴线的力偶.,三、变形特点,杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动.,第三章 扭转,3.1 扭转概念与实例,一、外力偶矩的计算,已知传动构件的转速与所传递的功率,计算轴所承受的扭力矩。,3-2 扭转的内力计算,第三章 扭转,3.2 扭转的内力计算,功率用马力(PS)表示,则,第三章 扭转,3.2 扭转的内力计算,在n n 截面处假想将轴截开取左 侧为研究对象,二、内力的计算,1、求内力,截面法,第三章 扭转,3.2 扭转的内力计算,采用右手螺旋法则,当力偶矩矢的指 向背离截面时扭矩为正,反之为负.,2、扭矩符号的规定,3、扭矩图,第三章 扭转,3.2 扭转的内力计算,Me4,A,B,C,D,Me1,Me2,Me3,n,例题1 一传动轴如图所示,其转速 n = 300 r/min ,主动轮A输入的功率为P1 = 36 kW . 若不计轴承摩擦所耗的功率,三个从动轮输出的功率分别为P2 = 11 kW 、P3 = 11 kW 及 P4 = 14 kW. 试做扭矩图.,第三章 扭转,3.2 扭转的内力计算,解: 计算外力偶矩,Me4,A,B,C,D,Me1,Me2,Me3,n,第三章 扭转,3.2 扭转的内力计算,计算 各段扭矩,A,B,C,D,Me1,Me3,Me2,Me4,第三章 扭转,3.2 扭转的内力计算,A,B,C,D,Me4,Me1,Me3,Me2,作出扭矩图,从图可见,最大扭矩 在 CA段内.,第三章 扭转,3.2 扭转的内力计算,一、薄壁圆筒扭转时的切应力,1.实验现象, 圆筒表面的各圆周线的形状、大小和 间距均未改变,只是绕轴线作了相对转;, 各纵向线均倾斜了同一微小角度 ; 所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形.,3-3 纯剪切概念,第三章 扭转,3.3 纯剪切概念,2、推论,横截面上无正应力,只 有切应力;,切应力方向垂直半径或与 圆周相切.,3)圆周各点处切应力的方向于圆周相切,且数值相等,近似的认为沿壁厚方向 各点处切应力的数值无变化.,第三章 扭转,3.3 纯剪切概念,此式为薄壁筒扭转时横截面上切应力的计算公式.,3、推导公式,薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布,与半径垂直, 指向与扭矩的转向一致.,第三章 扭转,3.3 纯剪切概念,二、切应力互等定理,在单元体左、右面(杆的横截面)上只有切应力,其方向于 y 轴平行.,可知,两侧面的内力元素 dy dz 大小相等,方向相反,将组成 一个力偶。,由平衡方程,第三章 扭转,3.3 纯剪切概念,要满足平衡方程,在单元体的上、下两平面上必有大小相等,指向相反的一对内力元素它们组成力偶,与其平衡。,可得,第三章 扭转,3.3 纯剪切概念,单元体两个相互垂直平面上的切 应力同时存在,且大小相等,都 指相(或背离)两平面的交线.,单元体平面上只有切应力而无正应力,则称为纯剪切单元体.,式中, r 为薄壁圆筒的外半经.,三、剪切胡克定律,由图所示的几何关系得到,薄壁圆筒的扭转试验发现,当外力偶 Me 在某一范围内时,与 Me (在数值上等于 T )成正比.,第三章 扭转,3.3 纯剪切概念,弹性模量E,剪切弹性模量G与泊松比的 关系,从 T 与 之间的线性关系,可推出 与 间 的线性关系.,该式称为材料的剪切胡克律.,G 剪切弹性模量,第三章 扭转,3.3 纯剪切概念,四、剪切应变能,对处于纯剪切应力状态的单元体(图a),为计算其上的外力所作功dW可设左侧面不动,此时的切应力t 仅发生在竖直平面内而只有右侧面上的外力t dydz在相应的位移g dx上作功。,第三章 扭转,3.3 纯剪切概念,于是,当材料在线弹性范围内工作时(t tp,见图b),有,第三章 扭转,3.3 纯剪切概念,纯剪切应力状态下的应变能密度为,由剪切胡克定律t =Gg,该应变能密度的表达式可写为,第三章 扭转,3.3 纯剪切概念,1、变形现象,1) 轴向线仍为直线,且长度不变;,2) 横截面仍为平面且与轴线垂直;,一、变形几何关系,3) 径向线保持为直线,只是绕轴 线旋转.,2、平面假设 变形前为平面的横截面 ,变形后仍保持为平面.,3-4 圆杆扭转的应力分析强度条件,第三章 扭转,3.4 圆杆的扭转应力 强度条件,4、几何关系,第三章 扭转,3.4 圆杆的扭转应力 强度条件,3、推论:,横截面 上只有切应力,切应力方向垂直于半径.,同一圆周上各点剪应力 均相同 ,且其值与 成正比, 与半径垂直.,二、 物理关系,由剪切胡克定律,第三章 扭转,3.4 圆杆的扭转应力 强度条件,三、静力关系,结论,代入物理关系中得到,式中:T 横截面上的扭矩, 求应力的点到圆心的距离,IP 为横截面对圆心的 极惯性矩,第三章 扭转,3.4 圆杆的扭转应力 强度条件,Wt 称作抗扭截面系数,单位为 mm3 或 m3.,的计算,r,O,T,dA,dA,第三章 扭转,3.4 圆杆的扭转应力 强度条件,(1)实心圆截面,极惯性矩和抗扭截面系数的计算,(2)空心圆截面,其中,第三章 扭转,3.4 圆杆的扭转应力 强度条件,1、 数学表达式,四、强度条件, 强度校核, 设计截面, 确定许可核载荷,第三章 扭转,3.4 圆杆的扭转应力 强度条件,A,B,C,解:作轴的扭矩图,MA,MB,MC,分别校核两段轴的强度,例题2 图示阶梯圆轴,AB段的直径d1=120mm,BC 段的直径 d2=100mm. 扭转力偶矩为MA = 22 kNm,MB = 36 kNm ,MC =14 kNm . 已知材料的许用切应力 = 80 MPa,试校核该轴的强度.,因此,该轴满足强度要求.,第三章 扭转,3.4 圆杆的扭转应力 强度条件,例3 已知: 传动轴为无缝钢管,D=90mm,t = 2.5 mm,Tmax= 1.5kNm, t=60MPa。求:校核轴的强度。,解:,计算Wt,切应力,第三章 扭转,3.4 圆杆的扭转应力 强度条件,例4 已知:同上例。将空心轴改为实心轴。要求与空心轴有相同的强度。Tmax=1.5kNm。求:实心轴的直径。,解:,比较空心轴与实心轴,实心轴截面积,1,第三章 扭转,3.4 圆杆的扭转应力 强度条件,比较空心轴与实心轴,实心轴截面积,空心轴截面积,空心轴与实心轴截面积比,1,第三章 扭转,3.4 圆杆的扭转应力 强度条件,1、单位长度扭转角,一、扭转变形,长为 l 的一段杆两端 面间的相对扭转角,3-5 圆杆扭转时的变形刚度条件,第三章 扭转,3.5 圆杆的扭转变形 刚度条件,2、刚度条件,扭转角 GIP 称作抗扭刚度,( /m ),称作许可单位长度扭转角,第三章 扭转,3.5 圆杆的扭转变形 刚度条件,例题5 图示等直杆,已知直径d=40mm,a=400mm,材料的 剪切弹性模量G=80GPa,DB=1. 试求: (1) AD杆的最大切应力; (2)扭转角 CA.,解:画扭矩图,计算外力偶矩M, DB= CB+ DC=1,Tmax= 3Me,第三章 扭转,3.5 圆杆的扭转变形 刚度条件,(1)AD杆的最大切应力,(2)扭转角 CA,第三章 扭转,3.5 圆杆的扭转变形 刚度条件,例题6 某汽车的主传动轴 是用 40 号钢的电焊钢管制成,钢管外 径D=76mm,壁厚t=2.5mm,轴传递的转矩M=1.98kNm, 材料的许用剪应力 = 100MPa,剪变模量为 G = 80GPa , 轴的许可扭角 = 2 /m . 试校核轴的强度和刚度.,第三章 扭转,3.5 圆杆的扭转变形 刚度条件,解:轴的扭矩等于轴传递的转矩,轴的内,外径之比,由强度条件,由刚度条件,第三章 扭转,3.5 圆杆的扭转变形 刚度条件,例题7 两端固定的圆截面杆AB,在截面C处受一个扭转力偶 矩M 的作用,如图所示。已知杆的抗扭刚度 GIP,试求杆两 端的支反力偶矩.,第三章 扭转,3.5 圆杆的扭转变形 刚度条件,解:去掉约束,代之以支反力偶矩,这是一次超静定问题, 须建立一个补充方程.,C截面相对于两固定端A和B的相对扭转角相等.,杆的变形相容条件是,第三章 扭转,3.5 圆杆的扭转变形 刚度条件,C,M,a,b,A,B,l,(1)变形几何方程,(2)由物理关系建立补充方程,解得,联解上述方程,第三章 扭转,3.5 圆杆的扭转变形 刚度条件,例题8 图 示一长为 l 的组合杆,由不同材料的实心圆截面杆和空心圆截面杆组成,内外两杆均在线弹性范围内工作,其抗扭刚度 GaIPa 、GbIPb . 当此组合杆的两端各自固定在刚性板上,并在刚性板处受一对矩为 M 的扭转力偶的作用试求分别作用于内、外杆上的扭转偶矩.,第三章 扭转,3.5 圆杆的扭转变形 刚度条件,解:列平衡方程,这是一次超静定问题.,变形相容条件是,内、外杆 的扭转变形应相同.,变形几何方程是,物理关系是,M,第三章 扭转,3.5 圆杆的扭转变形 刚度条件,联解上述方程,得:,Mb,Ma,M,第三章 扭转,3.5 圆杆的扭转变形 刚度条件,例9 (书例3. 5),已知: 把轴预加力偶矩 m后与筒焊接,然后解除 m。轴和筒的抗扭刚度分 别为G1IP1和G2IP2 。,解:,求:轴和筒的扭矩。,设外力偶矩m撤销后,轴内的扭矩和筒内的扭矩为T 。,第三章 扭转,3.5 圆杆的扭转变形 刚度条件,解出,第三章 扭转,3.5 圆杆的扭转变形 刚度条件,弹簧的螺旋角 5,且Dd,这样 的弹簧称为密圈螺旋弹簧. 推导这 种弹簧的应力与变形的计算公式.,一、弹簧丝横截面上的应力,3-6 密圈螺旋弹簧的应力和变形,第三章 扭转,3.6 圆密圈螺旋弹簧的应力和变形,作为近似计算,通常可略去 与剪力 FS相应的 ,且 D/d 很大时,还可略去簧圈曲率的影响,所以簧杆横截面上最大 切应力为,2、应力的计算,为便于分析,将杆的斜度 视为0.,1、内力的计算,第三章 扭转,3.6 圆密圈螺旋弹簧的应力和变形,第三章 扭转,3.6 圆密圈螺旋弹簧的应力和变形,可得:,第三章 扭转,3.6 圆密圈螺旋弹簧的应力和变形,3.修正公式,公式修正的原因:(1)当D/d 较小,会引起很大的误差; (2)假定剪切引起的切应力是均匀分布的.,式中,c为弹簧指数,k为曲度系数,可查教材中的表3.1,4、强度条件,第三章 扭转,3.6 圆密圈螺旋弹簧的应力和变形,若只考虑簧杆扭转的影响, 可得簧杆内的应变能为,二、弹簧的变形,1、直杆扭转应变能,第三章 扭转,3.6 圆密圈螺旋弹簧的应力和变形,3、功能原理 V = W,当弹簧的变形为 时,外力 所做的功为,2、外力做的功,c 弹簧刚度,第三章 扭转,3.6 圆密圈螺旋弹簧的应力和变形,例题10 某柴油机的气阀弹簧,簧圈平均半经R=59.5 mm,簧丝 横截面直径d=14mm,有效圈数n=5. 材料的 = 350MPa , G=80G
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