- - 1 - - 第一章习题解答第一章习题解答 1.1 1.1 由题可知示意图如题由题可知示意图如题 1.1.11.1.1 图图: : S S 2 t 1 t 题1.1.1图 设开始计时的时刻速度为设开始计时的时刻速度为 0 v , ,由题可知枪弹作匀减速运动设减速度大小为由题可知枪弹作匀减速运动设减速度大小为a. . 则有则有: : 2 21210 2 110 2 1 2 2 1 ttattvs attvs 由以上两式得由以上两式得 1 1 0 2 1 at t s v 再由此式得再由此式得 2121 12 2 tttt tts a 证明完毕证明完毕. . 1.2 1.2 解解 由题可知由题可知, ,以灯塔为坐标原点建立直角坐标如题以灯塔为坐标原点建立直角坐标如题 1.2.11.2.1 图图. . A B O 题1.2.1图 设设A船经过船经过 0 t 小时向东经过灯塔小时向东经过灯塔, ,则向北行驶的则向北行驶的B船经过船经过 2 1 1 0 t 小时经过灯塔任意时刻小时经过灯塔任意时刻A 船的坐标船的坐标 ttxA1515 0 ， 0 A y B船坐标 船坐标 0 B x ， ttyB15 2 1 115 0 则则AB船间距离的船间距离的平方平方 2 22 BABA yyxxd 即即 2 0 2 1515ttd 2 0 15 2 1 115 tt - - 2 - - - 2 - - 2 0 2 00 2 2 1 1225225675900450 ttttt 2 d 对时间对时间t求导求导 675900900 0 2 tt dt dd AB 船相距最近，即船相距最近，即 0 2 dt dd ，所以，所以 htt 4 3 0 即午后即午后 4545 分钟时两船相距最近最近距离分钟时两船相距最近最近距离 22 min 2 3 15 4 3 15 4 3 15 s kmkm 1.3 1.3 解解 1 如题如题 1.3.21.3.2 图图 x y C a B A r O a 第1.3题图 A B C r a x y O 题1.3.2图 由题分析可知，点由题分析可知，点C的坐标为的坐标为 sin coscos ay arx 又由于在又由于在 AOB中，有 中，有 sin 2 sin ar （正弦定理）所以（正弦定理）所以 r y r a2sin2 sin 联立以上各式运用联立以上各式运用 1cossin 22 由此可得由此可得 r yax r ax 22 cos cos 得得 1 24 2 22222 2 2 r yaxyax r y 得得 222222 23yaxraxy 化简整理可得化简整理可得 2 2222222 34rayxyax 此即为 此即为C点的轨道方程点的轨道方程. . （2 2）要求）要求C点的速度，分别求导点的速度，分别求导 2 cos sin cos2 cos sin r y r rx 其中其中 又因为 又因为 sin2sinar - - 3 - - - 3 - - 对两边分别求导对两边分别求导 cos2 cos a r 所以所以 22 yxV 4 cos sin cos2 cos sin 222 2 rr r sincossin4cos cos2 2 r 1.4 1.4 解解 如题如题 1.4.11.4.1 图所示，图所示， AB O C L x d 第1.4题图 OL绕 绕O点以匀角速度转动，点以匀角速度转动，C在在AB上滑动，因此上滑动，因此C点有一个垂直杆的速度分量点有一个垂直杆的速度分量 22 xdOCv C点速度 点速度 d xd dv v v 22 2 secsec cos 又因为又因为 所以所以C 点加速度点加速度 tansecsec2d dt dv a 2 222 22 2 tansec2 d xdx d 1.5 1.5 解解 由由题可知，变加速度表示为题可知，变加速度表示为 T t ca 2 sin1 由加速度的微分形式我们可知由加速度的微分形式我们可知 dt dv a 代入得代入得 dt T t cdv 2 sin1 对等式两边同时积分对等式两边同时积分 dt T t cdv tv 00 2 sin1 可得可得 ： D T t c T ctv 2 cos 2 （D为常数）为常数） 代入初始条件：代入初始条件： 0t 时，时， 0v ，故，故 c T D 2 - - 4 - - - 4 - - 即即 1 2 cos 2 T tT tcv 又因为又因为 dt ds v 所以 所以 dsdt T tT tc 1 2 cos 2 对等式两边同时积分对等式两边同时积分 ，可得：，可得： t T tTT tcs 2 sin 22 2 1 2 1.6 1.6 解解 由题可知质点的位矢速度由题可知质点的位矢速度 r / v 沿垂直于位矢速度沿垂直于位矢速度 v 又因为又因为 rr / v ， 即即 rr rv 即即 r ji v ar dt d r dt d dt d （取位矢方向（取位矢方向i，垂直位矢方向，垂直位矢方向j） 所以所以 ji i i rr dt d ri dt rd r dt d dt d r dt d r dt dr r dt dj jjj ijj 2 rrr 故故 jia rrrr2 2 即即 沿位矢方向加速度沿位矢方向加速度 2 rra 垂直位矢方向加速度垂直位矢方向加速度 rra2 对求导对求导 rrr 2 对求导对求导 r r r 2 r 把代入式中可得把代入式中可得 r ra 22 2 / r a 1.7 1.7 解解 由题可知由题可知 sin cos ry rx 对求对求导导 sincosrrx 对求导对求导 cossinsin2cos 2 rrrrx 对求导对求导 cossin rry 对求导对求导 sincoscos2sin 2 rrrry - - 5 - - - 5 - - 对于加速度对于加速度a，我们有如下关系见题，我们有如下关系见题 1.7.11.7.1 图图 r a a O x y 题1.7.1图 即即 cossin sincos aay aax r r - 对俩式分别作如下处理：对俩式分别作如下处理： cos ， sin 即得即得 cossinsinsin cossincoscos aay aax r r - + +得得 sincosyxar 把代入把代入 得得 2 rrar 同理可得同理可得 rra2 1.1.8 8 解解 以焦点以焦点F为坐标原点，运动如题为坐标原点，运动如题 1.8.11.8.1 图所示图所示 FO M x y 题1.8.1图 则则M点坐标点坐标 sin cos ry rx 对对yx,两式分别求导两式分别求导 cossin sincos rry rrx 故故 22 222 cossinsincos rrrryxv 222 rr 如图所示的椭圆的极坐标表示法为如图所示的椭圆的极坐标表示法为 cos1 1 2 e ea r 对对r求导可得（利用求导可得（利用 ）又因为）又因为 22 1 cos 1 11 ea e ear 即即 re rea 2 1 cos 所以所以 22 22 2 22 22 121 1cos1sin er earrea - -