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高三数学第一轮复习:抛物线的定义、性质及标准方程【本讲主要内容】 抛物线的定义及相关概念、抛物线的标准方程、抛物线的几何性质 【知识掌握】【知识点精析】 1. 抛物线定义: 平面内与一个定点和一条直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点叫做抛物线的焦点,直线叫做抛物线的准线,定点不在定直线上。它与椭圆、双曲线的第二定义相仿,仅比值(离心率e)不同,当e1时为抛物线,当0e1时为双曲线。 2. 抛物线的标准方程有四种形式,参数的几何意义,是焦点到准线的距离,掌握不同形式方程的几何性质(如下表): 其中为抛物线上任一点。 3. 对于抛物线上的点的坐标可设为,以简化运算。 4. 抛物线的焦点弦:设过抛物线的焦点的直线与抛物线交于,直线与的斜率分别为,直线的倾斜角为,则有,。 说明: 1. 求抛物线方程时,若由已知条件可知曲线是抛物线一般用待定系数法;若由已知条件可知曲线的动点的规律一般用轨迹法。 2. 凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理,能避免求交点坐标的复杂运算。 3. 解决焦点弦问题时,抛物线的定义有广泛的应用,而且还应注意焦点弦的几何性质。 【解题方法指导】 例1. 已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为轴,且与圆相交的公共弦长等于,求此抛物线的方程。解析:设所求抛物线的方程为或设交点(y10)则,代入得点在上,在上或,故所求抛物线方程为或。 例2. 设抛物线的焦点为,经过的直线交抛物线于两点,点在抛物线的准线上,且轴,证明直线经过原点。解析:证法一:由题意知抛物线的焦点故可设过焦点的直线的方程为 由,消去得 设,则 轴,且在准线上 点坐标为 于是直线的方程为 要证明经过原点,只需证明,即证 注意到知上式成立,故直线经过原点。 证法二:同上得。又轴,且在准线上,点坐标为。于是,知三点共线,从而直线经过原点。 证法三:如图, 设轴与抛物线准线交于点,过作,是垂足 则,连结交于点,则 又根据抛物线的几何性质, 因此点是的中点,即与原点重合,直线经过原点。 评述:本题考查抛物线的概念和性质,直线的方程和性质,运算能力和逻辑推理能力。其中证法一和二为代数法,证法三为几何法,充分运用了抛物线的几何性质,数形结合,更为巧妙。【考点突破】【考点指要】 抛物线部分是每年高考必考内容,考点中要求掌握抛物线的定义、标准方程以及几何性质,多出现在选择题和填空题中,主要考查基础知识、基础技能、基本方法,分值大约是分。 考查通常分为四个层次: 层次一:考查抛物线定义的应用; 层次二:考查抛物线标准方程的求法; 层次三:考查抛物线的几何性质的应用; 层次四:考查抛物线与平面向量等知识的综合问题。 解决问题的基本方法和途径:待定系数法、轨迹方程法、数形结合法、分类讨论法、等价转化法。【典型例题分析】 例3. (2006江西)设为坐标原点,为抛物线的焦点,为抛物线上一点,若,则点的坐标为( )A. B. C. D. 答案: 解析:解法一:设点坐标为,则 , 解得或(舍),代入抛物线可得点的坐标为。 解法二:由题意设,则, 即,求得,点的坐标为。 评述:本题考查了抛物线的动点与向量运算问题。 例4. (2006安徽)若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,则的值为( ) A. 2 B. 2 C. 4 . 4 答案:D 解析:椭圆的右焦点为,所以抛物线的焦点为,则。 评述:本题考查抛物线与椭圆的标准方程中的基本量的关系。【达标测试】一. 选择题:1. 抛物线的准线方程为,则实数的值是( ) A. B. C. D. 2. 设抛物线的顶点在原点,其焦点在轴上,又抛物线上的点,与焦点的距离为4,则等于( ) A. 4 B. 4或4 C. 2 D. 2或23. 焦点在直线上的抛物线的标准方程为( ) A. B. 或 C. D. 或4. 圆心在抛物线上,并且与抛物线的准线及轴都相切的圆的方程为( ) A. B. C. D. 5. 正方体的棱长为,点在棱上,且,点是平面上的动点,且点到直线的距离与点到点的距离的平方差为,则点的轨迹是( ) A. 抛物线 B. 双曲线 C. 直线 D. 以上都不对6. 已知点是抛物线上一点,设点到此抛物线准线的距离为,到直线的距离为,则的最小值是() A. 5 B. 4 C. D. 7. 已知点是抛物线上的动点,点在轴上的射影是,点的坐标是,则的最小值是( ) A. B. 4 C. D. 58. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点,为坐标原点,则的值是( ) A. 12 B. 12 C. 3 D. 3二. 填空题:9. 已知圆和抛物线的准线相切,则的值是。10. 已知分别是抛物线上两点,为坐标原点,若的垂心恰好是此抛物线的焦点,则直线的方程为。11. 过点(0,1)的直线与交于两点,若的中点的横坐标为,则。12. 已知直线与抛物线交于两点,那么线段的中点坐标是。 三. 解答题:13. 已知抛物线顶点在原点,对称轴为轴,抛物线上一点到焦点的距离是5,求抛物线的方程。14. 过点(4,1)作抛物线的弦,恰被所平分,求所在直线方程。15. 设点F(1,0),M点在轴上,点在轴上,且。 当点在轴上运动时,求点的轨迹的方程; 设是曲线上的三点,且成等差数列,当的垂直平分线与轴交于E(3,0)时,求点的坐标。 【综合测试】一. 选择题:1. (2005上海)过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线( ) A. 有且仅有一条 B. 有且仅有两条 C. 有无穷多条 D. 不存在2. (2005江苏)抛物线上的一点到焦点的距离为1,则点的纵坐标是( ) A. B. C. D. 03. (2005辽宁)已知双曲线的中心在原点,离心率为,若它的一条准线与抛物线的准线重合,则该双曲线与抛物线的交点与原点的距离是( ) A. B. C. D. 214. (2005全国)已知双曲线的一条准线与抛物线的准线重合,则该双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 5. (2004全国)设抛物线的准线与轴交于点,若过点的直线与抛物线有公共点,则直线的斜率的取值范围是( ) A. B. C. D. 6. (2006山东)动点是抛物线上的点,为原点,当时取得最小值,则的最小值为( ) A. B. C. D. 7. (2004北京)在一只杯子的轴截面中,杯子内壁的曲线满足抛物线方程,在杯内放一个小球,要使球触及杯子的底部,则该球的表面积的取值范围是( ) A. B. C. D. 8. (2005北京)设抛物线的准线为,直线与该抛物线相交于两点,则点及点到准线的距离之和为( ) A. 8 B. 7 C. 10 D. 12 二. 填空题:9. (2004全国)设是曲线上的一个动点,则点到点的距离与点到轴的距离之和的最小值是。10. (2005北京)过抛物线的焦点且垂直于轴的弦为,以为直径的圆为,则圆与抛物线准线的位置关系是,圆的面积是。11. (2005辽宁)已知抛物线的一条弦,所在直线与轴交点坐标为(0,2),则。12. (2004黄冈)已知抛物线的焦点在直线上,现将抛物线沿向量进行平移,且使得抛物线的焦点沿直线移到点处,则平移后所得抛物线被轴截得的弦长。 三. 解答题:13. (2004山东)已知抛物线C:的焦点为,直线过定点且与抛物线交于两点。 若以弦为直径的圆恒过原点,求的值; 在的条件下,若,求动点的轨迹方程。14. (2005四川) 如图,是抛物线的焦点,点为抛物线内一定点,点为抛物线上一动点,的最小值为8。 求抛物线方程; 若为坐标原点,问是否存在点,使过点的动直线与抛物线交于两点,且,若存在,求动点的坐标;若不存在,请说明理由。15. (2005河南)已知抛物线,为顶点,为焦点,动直线与抛物线交于两点。若总存在一个实数,使得。 求; 求满足的点的轨迹方程。黄褐色,湿,软塑可塑,含少量粉粒,稍有光泽,无摇振反应,干强度中等,分布于卵石层之上。稍密,该层有轻微摇震反应,干强度较差,部分地段接近与粉砂。部分地段分布,主要分布与砂卵石之上
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