高中微积分基本知识第一章、 极限与连续一、 数列的极限1 数列定义：按着正整数的顺序排列起来的无穷多个数 叫数列，记作，并吧每个数叫做数列的项，第n个数叫做数列的第n项或通项界的概念：一个数列，若，对，都有，则称是有界的：若不论有多大，总，则称是无界的若，则称为的下界，称为的上界有界的充要条件：既有上界，又有下界2 数列极限的概念定义：设为一个数列，为一个常数，若对，总,当时，有 则称是数列的极限，记作或数列有极限时，称该数列为收敛的，否则为发散的几何意义：从第项开始，的所有项全部落在点的邻域3 数列极限的性质唯一性 收敛必有界 保号性：极限大小关系数列大小关系（时）二、 函数的极限1.定义：两种情形：设在点处的某去心邻域内有定义，为常数，若对，当时，恒有成立， 则称在时有极限记作或几何意义：对，当时，介于两直线单侧极限：设在点处的右侧某邻域内有定义，为常数，若对，当时，恒有成立，称在处有右极限，记作或的充要条件为：=垂直渐近线：当时，为在处的渐近线：设函数在上有定义，为常数，若对，当时，有成立，则称在时有极限，记作或的充要条件为：水平渐进线： 若或，则是的水平渐近线2.函数极限的性质：唯一性 局部有界性 局部保号性（在当时成立）三、 极限的运算法则1 四则运算法则设、的极限存在，则 （当时） （为常数） （为正整数） 2 复合运算法则设，若，则可以写成 （换元法基础）四、极限存在准则及两个重要极限1极限存在准则夹逼准则设有三个数列，满足 ， 则单调有界准则有界数列必有极限3 重要极限 或五、无穷大与无穷小1无穷小：在自变量某个变化过程中，则称为x在该变化过程中的无穷小 若，则为x在所有变化过程中的无穷小 若，则不是无穷小性质：1.有限个无穷小的代数和为无穷小 2.常量与无穷小的乘积为无穷小 3.有限个无穷小的乘积为无穷小 4.有极限的量与无穷小的乘积为无穷小 5.有界变量与无穷小的乘积为无穷小定理：的充要条件是，其中为x在该变化中过程中的无穷小无穷小的比较：(趋于0的速度的大小比较)，为同一变化过程中的无穷小若（常数） 则是的同阶无穷小 （当时为等价无穷小）若（常数） 则是的k阶无穷小若 则是的高阶无穷小常用等价无穷小：()；2无穷大：设函数在的某去心邻域内有定义。若对于，当时，恒有称当时为无穷大，记作定理： （下：趋于某点，去心邻域不为0） 无穷大的乘积为无穷大， 其和、差、商不确定六、连续函数1定义设函数在某邻域有定义，若对，当时，恒有： 也可记作 或 （或）为左（或右）连续2函数的间断点第一类间断点：左右极限存在第二类间断点：无穷间断点，震荡间断点等3.连续函数的运算若函数与都在处连续，则函数， （）定理：，若在处连续，在处连续，则在处连续4 闭区间连续函数的性质 最值定理：在上连续， 则，对一切有 介值定理：在上连续，对于与之间的任何数，至少一点，第二章、 导数一、导数的概念定义：设函数在点的某邻域有定义，如果极限 存在，则称函数在点可导，极限值为函数在点处的导数，记为单侧导数：设函数在点处的左侧有定义，若极限 存在，则称此极限为函数在点处的左导数，记为，类似有右导数导函数：函数在某区间上可导，则 性质：函数在点处可导的充要条件 可导连续导数的几何意义： 函数点处的切线斜率二、求导法则1函数的和、差、积、商的求导法则定理：若都在x处可导，则函数在x处也可导，且 定理：若都在x处可导，则函数在x处也可导，且 推论：若都在x处可导，则函数在x处也可导，且 定理：若都在x处可导，则函数在x处也可导，且 2反函数的求导法则定理：设函数在上单调可导，它的值域为，而，则其反函数在区间上可导，并且有 4 复合函数的求导法则定理：若函数在可导，函数在点可导，则复合函数在处可导 或 （连锁规则） 三、高阶导数定义：若函数的导数仍可导，则导数为的二阶导数，记作， 类似的，有n阶导数四、隐函数求导对于,或，若求求导法：方程两侧对x求导微分法：方程两侧求微分公式法： ，将方程化成=0，将F看成关于x,y的二元函数，分别对x,y求偏导五、参数方程所确定的函数求导 ，导数公式基本函数： 导数运算法则: 高阶导数 1. 2.，需补充条件在处可导或该极限存在第三章、微分一、微分的概念定义：设函数在某区间上有定义，若可表示为 （其中A与无关） ，则称为y在处的微分，记作的区别：当y为自变量时，当y为因变量时，为y的线性主部定理：对于一元函数，性质：一阶微分形式不变性，对于高阶微分二、微分的几何意义“以直代曲”三、微分中值定理中值定理条件结论Rolle上连续,上可导,至少存在一点，使得Lagrange上连续, 上可导Cauchy上连续, 上可导，有限增量定理： 法则：型未定式定值法：在的某去心邻域有定义，且，在的某去心邻域可导，且 ，则有，类似四、函数的单调性与极值1.单调性：定理：设函数在上连续，在上可导，则导数符号原函数单调性2.极值定义：设函数在点某邻域有定义，若对该邻域内一切x都有 则是函数的一个极大值，点为函数的一个极大值点。（极小值类似）函数取得极值的一阶充分条件函数在点去心邻域可导，且在处可导或导数不存在，则：当时，时，则是极大值当时，时，则是极小值无论还是，总有（或），则不是极值函数取得极值的二阶充分条件函数在点处具有二阶导数，且，则若，则是极小值若，则是极大值第四章、不定积分一、不定积分的概念和性质1.原函数与不定积分原函数：设在上有定义，若对，都有 或 则称为在上的一个原函数原函数存在定理：若函数在上连续，则在上可导函数，对，都有。即连续函数一定有原函数不定积分：设使的一个原函数，C为任意常数，称为的不定积分，记作几何意义：积分曲线族2.不定积分的性质：积分运算与微分运算为互逆运算 二、换元积分法1.第一类换元积分法定理：设有原函数，且具有连续导数，则有原函数2.第二类换元积分法定理：设连续，具有连续导数，且，则，其中三、分部积分法四、有理函数的积分1.简单有理函数的积分将真分式分解为部分分式之和对于形式：应分解成k个部分分式对于：应分解成个部分分式求4种积分，其中，对于，可令，则，再利用递推法2.三角函数有理式的积分万能变换：， ，其他方法：形式换元一、二、与 对于令对于令三、与 为偶数对于令对于令四、当n,m至少有一个为奇数时，可利用将其转化当n,m均为偶数时，利用2倍角转化五、令 解出A,B原函数为积分表 () 第五章、定积分一、定积分的定义定义：设函数在上有界，在内任意插入n-1个分点把分成n个小区间，().记，在第个区间上任取一点，用乘上区间长度，即，并作和.记，无论怎么分割，无论怎么取，若时，趋于同一极限，则称此极限为在上的定积分.记作可积定理：函数在上连续函数在上有界，且仅有有限个第一类间断点函数在上单调有界二、定积分的性质 区间可加性 单调性:若上则 估值性质：设，分别为在上的最大值与最小值，则定积分中值定理：若在上连续，则在区间上至少存在一点,在上的平均值为若为奇函数，；若为偶函数 为周期函数， 三、微积分学基本定理1.变上限函数 定理：若在上连续，则变上限函数可导，2.原函数存在定理若在上连续，则函数是在上的一个原函数3.Newton-Leibniz公式（微积分基本定理）在上连续，是在上一个原函数则若不满足连续条件，可分段积分四、定积分换元法定理：设函数在上连续，函数满足： 在上单调，值域为， 在上具有连续导数 则有:五、定积分的分部积分法类似不定积分六、广义积分1.无穷区间上的广义积分设函数上连续，任取，若极限 存在则称此极限为函数在无穷区间上的广义积分，记作类似定义上的广义积分对于，令，为常数2无界函数的广义积分设函数在上连续，而，取，如果极限 存在则称此极限为函数在上的广义积分，记作类似可定义b为无穷间断点时的广义积分3.函数含参变量的广义积分称为函数性质： 当，余元公式： 令，令 得 七、定积分的应用1.求面积2.求体积旋转体：旋转轴为，平行截面面积为已知的立体体积：平行截面是x的函数，3.求弧长对于，参数方程 ，极坐标 ，为奇函数，则为偶函数；为偶函数，则中仅为奇函数为周期函数，则为周期函数；为周期函数，且则为周期函数黄褐色，湿，软塑可塑，含少量粉粒，稍有光泽，无摇振反应，干强度中等，分布于卵石层之上。稍密，该层有轻微摇震反应，干强度较差，部分地段接近与粉砂。部分地段分布，主要分布与砂卵石之上