高考数学离散型随机变量的期望与方差解答题考点预测和题型解析在高考中，离散型随机变量的期望与方差试题的出题背景大多数源于课本上，有时也依赖于历年的高考真题、资料中的典型题例为背景，涉及主要问题有：产品检验问题、射击、投篮问题选题、选课，做题，考试问题、试验，游戏，竞赛，研究性问题、旅游，交通问题、摸球球问题、取卡片，数字和入座问题、信息，投资，路线等问题。属于基础题或中档题的层面。高考中一定要尽量拿满分。l 考题预测离散型随机变量的期望与方差涉及到的试题背景有：产品检验问题、射击、投篮问题选题、选课，做题，考试问题、试验，游戏，竞赛，研究性问题、旅游，交通问题、摸球球问题、取卡片，数字和入座问题、信息，投资，路线等问题。从近几年高考试题看，离散型随机变量的期望与方差问题还综合函数、方程、数列、不等式、导数、线性规划等知识主要考查能力。l 复习建议1学习概率与统计的关键是弄清分布列,期望和方差在统计中的作用.离散型随机变量的分布列的作用是：（1）可以了解随机变量的所有可能取值；（2）可以了解随机变量的所有取值的概率；（3）可以计算随机变量在某一范围内取值的概率。2离散型随机变量的分布列从整体上全面描述了随机变量的统计规律。3离散型随机变量的数学期望刻画的是离散型随机变量所取的平均值，是描述随机变量集中趋势的一个特征数。4离散型随机变量的方差表示了离散型随机变量所取的值相对于期望的集中与分散程度。l 知识点回顾 1离散型随机变量的期望：（1）若离散型随机变量的概率分布为 - - - -则称为的数学期望（平均值、均值） 简称为期望。 期望反映了离散型随机变量的平均水平。 是一个实数，由的分布列唯一确定。 随机变量是可变的，可取不同值。 是不变的，它描述取值的平均状态。（2）期望的性质： 若，则 若，则 2离散型随机变量的方差（1）离散型随机变量的方差：设离散型随机变量可能取的值为 且这些值的概率分别为则称 ；为 的方差。 反映随机变量取值的稳定与波动。 反映随机变量取值的集中与离散的程度。 是一个实数，由的分布列唯一确定。 越小，取值越集中，越大，取值越分散。 的算术平均数叫做随机变量的标准差，记作。注：在实际中经常用期望来比较两个类似事件的水平，当水平相近时，再用方差比较两个类似事件的稳定程度。（2）方差的性质： 若，则 若，则 l 考点预测根据离散型随机变量的试题背景进行考题类型预测：考点1：产品检验问题【例1】已知：甲盒子内有3个正品元件和4个次品元件，乙盒子内有5个正品元件和4个次品元件，现从两个盒子内各取出2个元件，试求（）取得的4个元件均为正品的概率；（）取得正品元件个数的数学期望.【分析及解】（I）从甲盒中取两个正品的概率为P（A）=从乙盒中取两个正品的概率为P（B）=4分A与B是独立事件 P（AB）=P（A）P（B）=（II）的分布列为01234P12分【例2】某车间在三天内，每天生产10件某产品，其中第一天，第二天分别生产出了1件、2件次品，而质检部每天要从生产的10件产品中随意抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过.（I）求第一天通过检查的概率；（II）求前两天全部通过检查的概率；（III）若厂内对车间生产的产品采用记分制：两天全不通过检查得0分，通过1天、2天分别得1分、2分.求该车间在这两天内得分的数学期望.【分析及解】（I）随意抽取4件产品检查是随机事件，而第一天有9件正品，第一天通过检查的概率为 （II）同（I），第二天通过检查的概率为 因第一天，第二天是否通过检查相互独立。 所以，两天全部通过检查的概率为：（II）记得分为，则的值分别为0，1，2，因此，考点2：比赛问题【例3】A、B两队进行篮球决赛，共五局比赛，先胜三局者夺冠，且比赛结束。根据以往成绩，每场中A队胜的概率为，设各场比赛的胜负相互独立. （1）求A队夺冠的概率； （2）设随机变量表示比赛结束时的场数，求E.【分析及解】（1）A队连胜3场的概率为，打4场胜3场的概率为，打5场胜3场的概率为又以上事件是互斥的，A队获胜的概率为P=P1+P2+P3= （2），（A队连胜3场或B队连胜3场），；.【例4】两个排球队进行比赛采用五局三胜的规则，即先胜三局的队获胜，比赛到此也就结束，假设按原定队员组合，较强队每局取胜的概率为0.6，若前四局出现2比2的平局情况，较强队就换人重新组合队员，则其在决赛局中获胜的概率为0.7，设比赛结束时的局数为. （）求的概率分布； （）求E.【分析及解】（）=3，4，5. 的概率分布为345P0.28000.37440.3456 （）E=30.2800+40.3744+50.3456=4.0656. 考点3：射击，投篮问题【例5】甲、乙两人各射击1次，击中目标的概率分别是和，假设两人射击是否击中标，相互之间没有影响. 每人各次射击是否击中目标，相互之间没有影响. （1）甲射击4次，至少有一次未击中目标的概率； （2）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率； （3）假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击，问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？【分析及解】（1）甲至少一次未击中目标的概率P1是 （2）甲射击4次恰击中2次概率为乙射击4次恰击中3次概率为 由乘法公式得 （3）乙恰好5次停止射击，则最后两次未击中，前三次或都击中或第一与第二次恰有一次击中，第三次必击中，故所求概率为：【例6】甲、乙两人玩投篮游戏，规则如下：两人轮流投篮，每人至多投2次，甲先投，若有人投中即停止投篮，结束游戏，已知甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为求： （1）乙投篮次数不超过1次的概率；1.3.5 （2）记甲、乙两人投篮次数和为，求的分布列和数学期望.【分析及解】记“甲投篮投中”为事件A，“乙投篮投中”为事件B。 解法一“乙投篮次数不超过1次”包括三种情况：一种是甲第1次投篮投中，另一种是甲第1次投篮未投中而乙第1次投篮投中，再一种是甲、乙第1次投篮均未投中而甲第2次投篮投中，所求的概率是P = P（A+ = 答：乙投篮次数不超过1次的概率为 解法二：“乙投篮次数不超过1次”的对立事件是“乙投篮2次”，所以，所求的概率是 = 答：乙投篮次数不超过1次的概率为 （2）甲、乙投篮总次数的取值1，2，3，4，1.3.5甲、乙投篮次数总和的分布列为 1 2 3 4P 甲、乙投篮总次数的数学期望为答：甲、乙投篮次数总和的数学期望为考点4：选题，选课，做题，考试问题【例7】甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92。求： （1）求该题被乙独立解出的概率。 （2）求解出该题的人数的数学期望和方差。【分析及解】（1）记甲、乙分别解出此题的事件记为A、B.设甲独立解出此题的概率为P1，乙独立解出此题的概率为P2.则P（A）=P1=0.6，P（B）=P2P（A+B）=1P（）=1(1P1)(1P2)=P1+P2P1+P2=0.920.6+P20.6P2=0.92则 0.4P2=0.32即P2=0.8. （2）P（=0）=P（）P（）=0.40.2=0.08P(=1)=P(A)P()+P()P(B)=0.60.2+0.40.8=0.44P(=2)=P(A)P(B)=0.60.8=0.48的概率分布为：012P0.080.440.48E=00.08+10.44+20.48=0.44+0.96=1.4D=(01.4)20.08+(11.4)20.44+(21.4)20.48 =0.1568+0.0704+0.1728=0.4解出该题的人数的数学期望为1.4，方差为0.4。【例8】某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响. 已知某学生只选修甲的概率为0.08，只选修甲和乙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积. （）记“函数为R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率； （）求的分布列和数学期望.【分析及解】设该学生选修甲、乙、丙的概率分别为x、y、z依题意得（I） 若函数为R上的偶函数，则=0当=0时，表示该学生选修三门功课或三门功课都没选=0.40.50.6+（10.4）（10.5）（10.6）=0.24事件A的概率为0.24 （II）依题意知=0.2则的分布列为02P0.240.76的数学期望为E=00.24+20.76=1.52考点5：试验，游戏，竞赛，研究性问题【例9】某家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费满1000元，便可以获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为，若中奖，则家具城返还顾客现金1000元，某顾客购买一张价格为3400元的餐桌，得到3张奖券，设该顾客购买餐桌的实际支出为元. （I）求的所有可能取值； （II）求的分布列； （III）求的期望E.【分析及解】解法一（I）的所有可能取值为3400，2400，1400，400 （II） 的分布列为 3400 2400 1400 400 P （III） 解法二 设该顾客中奖奖券张，则 （II） （III）所以的数学期望E=0P（=0）+6P（=3）+9（=9）=2.5由于按先A后B或先B后A的次序答题，获得奖金期望值的大小相等，故获得奖金期望值的大小与答题顺序无关.【例10】某小组有7个同学，其中4个同学从来没有参加过天文研究性学习活动，3个同学曾经参加过天文研究性学习活动. （1）现从该小组中随机选2个同学参加天文研究性学习活动，求恰好选到1个曾经参加过天文研究性学习活动的同学的概率； （2）若从该小组随机选2个同学参加天文研究性学习活动，则活动结束后，该小组没有参加过天文研究性学习活动的同学个数是一个随机变量，求随机变量的分布列及数学期望E