第4讲 平面向量的应用举例,1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. 2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.,1.向量在平面几何中的应用,平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及 数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长 度、夹角等问题.,设a(x1，y1)，b(x2，y2)，为实数.,(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线,向量定理：,abab(b0)x1y2x2y10. (2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质： abab0_. (3)求夹角问题，利用夹角公式：,x1x2y1y20,2.平面向量与其他数学知识的交汇,平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角 函数、数列、解析几何等知识结合.当平面向量给出的形式中含 有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未 知数的关系式.在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角 函数、数列的综合问题.此类问题的解题思路是转化为代数运 算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的 充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质.,1.如图 4-4-1，已知正六边形 P1P2P3P4P5P6，下列向量的数,量积中最大的是(,),图 4-4-1,A,2.如图 4-4-2，已知在边长为 2 的菱形 ABCD 中，BAD,图 4-4-2,A,90,4. 已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为CD的中点，,解析：方法一，如图 D29，以 A 为坐标原点，AB 所在的直 线为 x 轴，AD 所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，则 A(0,0)，B(2，0)，D(0,2)，E(1,2).,图 D29,答案：2,考点 1,平面向量在平面几何中的应用,答案：B,(3)(2018 年天津)如图 4-4-3，在平面四边形 ABCD 中，AB BC，ADCD，BAD120，ABAD1.若点 E 为边 CD,图 4-4-3,A.,21 16,B.,3 2,C.,25 16,D.3,解析：建立如图 D30 所示的平面直角坐标系.,答案：A,图 D30,答案：D,(5)在菱形 ABCD 中，对角线 AC4，E 为 CD 的中点，则,A.8,B.10,C.12,D.14,方法二，(坐标化)如图 D31，建立平面直角坐标系， 则 A(2,0)，C(2,0).,不妨设 D(0,2a)，则 E(1，a).,答案：C,图 D31,【规律方法】用向量方法解决平面几何问题的步骤： 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的,几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； 通过向量运算，研究几何元素之间的关系； 把运算结果“翻译”成几何关系.,建立平面几何与向量联系的主要途径是建立平面直角坐标 系，将问题坐标化，利用平面向量的坐标运算解决有关问题.,考点 2,平面向量在解析几何中的应用,答案：6,图 D32,答案：A,答案：A,答案：A,图 4-4-4,难点突破 利用数形结合的思想求最值,答案：A,(2)已知 a，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c,满足(ac)(bc)0，则|c|的最大值是(,),A.1,B.2,解析：方法一，直接设出向量的直角坐标，把问题转化为 坐标平面内曲线上的问题，根据曲线的几何意义解决.,图 4-4-5,答案：C,【互动探究】,解析：如图 D33，建立平面直角坐标系，,图 D33,