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M 证明题1.如图,ABC中,BAC=90,AB=AC,ADBC,垂足是D,AE平分BAD,交BC于点E在ABC外有一点F,使FAAE,FCBC(1)求证:BE=CF;(2)在AB上取一点M,使BM=2DE,连接MC,交AD于点N,连接ME求证:MEBC;DE=DN2.如图,在ABC中,ACB90,ACBC,E为AC边的中点,过点A作ADAB交BE的延长线于点D,CG平分ACB交BD于点G,F为AB边上一点,连接CF,且ACFCBG。求证:(1)AFCG;(2)CF2DE3.如图,在矩形ABCD中,E、F分别是边AB、CD上的点,AE=CF,连接EF,BF,EF与对角线AC交于O点,且BE=BF,BEF=2BAC。(1)求证:OE=OF; (2)若BC=,求AB的长。4.已知,如图,在ABCD中,AEBC,垂足为E,CE=CD,点F为CE的中点,点G为CD上的一点,连接DF、EG、AG,1=2(1)若CF=2,AE=3,求BE的长;(2)求证:CEG=AGE5.如图1,在ABC中,ACB=90,BAC=60,点E角平分线上一点,过点E作AE的垂线,过点A作AB的线段,两垂线交于点D,连接DB,点F是BD的中点,DHAC,垂足为H,连接EF,HF。(1)如图1,若点H是AC的中点,AC=,求AB,BD的长。(2)如图1,求证:HF=EF。(3)如图2,连接CF,CE,猜想:CEF是否是等边三角形?若是,请证明;若不是,请说明理由。6.如图1,ABC中,BAC=90,AB=AC,ADBC于点D,点E在AC边上,连结BE(1)若AF是ABE的中线,且AF5,AE6,连结DF,求DF的长;(2)若AF是ABE的高,延长AF交BC于点G如图2,若点E是AC边的中点,连结EG,求证:AGEGBE;如图3,若点E是AC边上的动点,连结DF当点E在AC边上(不含端点)运动时,DFG的大小是否改变,如果不变,请求出DFG的度数;如果要变,请说明理由BAFDCEG25题图2ABFDCEG25题图3ABFDCE25题图1 7.在ABC中,AB=AC,A=60,点D是线段BC的中点,EDF=120,DE与线段AB相交于点E,DF与线段AC(或AC的延长线)相交于点F.(1)如图1,若DFAC,垂足为F,AB=4,求BE的长;(2)如图2,将(1)中的EDF绕点D顺时针旋转一定的角度,DF扔与线段AC相交于点F.求证:;(3)如图3,将(2)中的EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度,使DF与线段AC的延长线交与点F,作DNAC于点N,若DN=FN,求证:.8.已知在四边形ABCD中,AB=BC.(1)如图1,若,AD=2,求CD的长度;(2) 如图2,点P、Q分别在线段AD、DC上,满足PQ=AP+CQ,求证:;(3)如图3,若点Q运动到DC的延长线上,点P也运动到DA的延长线上时,仍然满足PQ=AP+CQ,则(2)中的结论是否成立?若成立,请给出证明过程,若不成立,请写出与的数量关系,并给出证明过程.图1图3图2 9.如图,在菱形ABCD中,ABC=60,E是对角线AC上任意一点,F是线段BC延长线上一点,且CF=AE,连接BE、EF(1)如图1,当E是线段AC的中点,且AB=2时,求ABC的面积;(2)如图2,当点E不是线段AC的中点时,求证:BE=EF;图1 图2 图3(3)如图3,当点E是线段AC延长线上的任意一点时,(2)中的结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由10.如图1,在菱形ABCD中,ABC=60,若点E在AB的延长线上,EFAD,EF=BE,点P是DE的中点,连接FP并延长交AD于点G(1)过D作DHAB,垂足为H,若DH=,BE=AB,求DG的长;(2)连接CP,求证:CPFP;EABCDHPFG第25题图1ABCDPF第25题图2EG(3)如图2,在菱形ABCD中,ABC=60,若点E在CB的延长线上运动,点F在AB的延长线上运动,且BE=BF,连接DE,点P为DE的中点,连接FP、CP,那么第(2)问的结论成立吗?若成立,求出的值;若不成立,请说明理由11.如图1,中,于点,于点,连接.(1)若,求的周长;(2)如图2,若,的角平分线交于点,求证:;(3)如图3,若,将沿着翻折得到,连接、,请猜想线段、之间的数量关系,并证明你的结论。12.如图,在等腰RtABC中,为斜边AC的中点,连接BO,以AB为斜边向三角形内部作RtABE,且AEB=90,连接EO.求证:(1)OAE=OBE; (2)AE=BE+OE. 13.张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题:如图1,在ABC中,AB=AC,点P为边BC上的任一点,过点P作PDAB,PEAC,垂足分别为D、E,过点C作CFAB,垂足为F求证:PD+PE=CF小军的证明思路是:如图2,连接AP,由ABP与ACP面积之和等于ABC的面积可以证得:PD+PE=CF小俊的证明思路是:如图2,过点P作PGCF,垂足为G,可以证得:PD=GF,PE=CG,则PD+PE=CF【变式探究】如图3,当点P在BC延长线上时,其余条件不变,求证:PDPE=CF;请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题:【结论运用】如图4,将矩形ABCD沿EF折叠,使点D落在点B上,点C落在点C处,点P为折痕EF上的任一点,过点P作PGBE、PHBC,垂足分别为G、H,若AD=8,CF=3,求PG+PH的值;【迁移拓展】图5是一个航模的截面示意图在四边形ABCD中,E为AB边上的一点,EDAD,ECCB,垂足分别为D、C,且ADCE=DEBC,AB=dm,AD=3dm,BD=dmM、N分别为AE、BE的中点,连接DM、CN,求DEM与CEN的周长之和14.15.如图,在正方形ABCD中,E、F分别为BC、AB上两点,且BE=BF,过点B作AE的垂线交AC于点G,过点G作CF的垂线交BC于点H,延长线段AE、GH交于点M.(1)求证:BFC=BEA;(2)求证:AM=BG+GM.16.某数学活动小组在作三角形的拓展图形,研究其性质时,经历了如下过程: (1) 如图1所示,在等腰ABC中,ABAC,分别以AB、AC为斜边,向ABC的外侧作等腰直角三角形,如图1所示,其中DFAB于点F,EGAC于点G,M是BC的中点,连结MD和ME, 求证: AFAG AB;MDME;(2) 在任意ABC中,分别以AB、AC为斜边,向ABC的外侧作等腰直角三角形,如图2所示,M是BC的中点,连结MD和ME,试判断MDE的形状(直接写答案,不需要写过程) (3) 在任意ABC中,仍分别以AB、AC为斜边,向ABC的内侧作等腰直角三角形,如图3所示,M是BC的中点,连结MD和ME,则MD与ME有怎样的数量关系?17.18.19.如图,在等腰RtABC中,O为斜边AC的中点,连接BO,以AB为斜边向三角形内部作RtABE,且AEB=90,连接EO.求证:(1)OAE=OBE;(2)AE=BE+OE. 2o.如图,已知,BAC90,ABAC,BD是ABC的平分线,且CEBD交BD延长线于点E。 (1),若AD1,求DC; (2)求证:BD2CE21.如图所示,中,,=90, ,沿直线翻折到,连结交、分别于点、.(1)求证:;(2)求证:.22.已知平行四边形ABCD中,G为BC中点,点E在AD边上,且(1)求证:E是AD中点;(2)若F为CD延长线上一点,连接BF,且满足,求证:CD=BF+DF23.24.如图1,中,于点,于点,连接.(1)若,求的周长;(2)如图2,若,的角平分线交于点,求证:;(3)如图3,若,将沿着翻折得到,连接、,请猜想线段、之间的数量关系,并证明你的结论。25.我们知道平行四边形有很多性质。现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折。会发现这其中还有更多的结论,如图,已知平行四边形ABCD中,B30,将ABC沿AC翻折至,连接。【发现与证明】:如图1:求证:AGC是等腰三角形;(只选一个证明哟,4分)【应用与解答】:如图2:如果AB,BC1,与CD相交于点E,求AEC的面积【拓展与探索】如果AB,当BC的长为多少时,ABD是直角三角形?(4分)26.在菱形ABCD和正三角形BGF中,ABC=60,P是DF的中点,连接PG、PC(1)如图1,当点G在BC边上时,若AB=10,BF=4,求PG的长;(2)如图2,当点F在AB的延长线上时,线段PC、PG有怎样的数量关系,写出你的猜想;并给予证明.(3)如图3,当点F在CB的延长线上时,(2)问中关系还成立吗?写出你的猜想,并给予证明.DDCCDCPGPFPGFGBABABA图1图2图3F在菱形ABCD中,=60,以D为顶点作等边三角形DEF,连接,点分别为、的中点,连接. (1)如图1,若点E在DP上,EF与CD交于点M,连接MN,,求MN的长; (2)如图2,若为中点,求证:;第25题图 (3)如图3,若四边形ABCD为平行四边形,且60,以D为顶点作三角形,满足且,仍分别为EF、EC、BC的中点,请探究与的和是否为一个定值,并证明你的结论.27.28.如图1,正方菜ABCD中,AC是对角线,等腰RtCMN中,CMN=900,CM=MN,点M在CD边上;连接AN,点E是AN的中点,连接BE。(1)若CM=2,AB=6,求AE的值;(2)求证:2BE=AC+CN;(3)当等腰RtCMN的点M落在正方形ABCD的BC边上,如图2,连接AN,点E是AN的中点,连接BE,延长NM交AC于点F。请探究线段BE、AC、CN的数量关系,并证明你的结论。24题图ABCDEFGH29.如图,正方形ABCD的边长为6, 点E在边AB上,过点D作FDDE,并与BC的延长线相交于点F,E
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