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浙江历年理科高考题之立体几何大题(教师版)1、(2005年)18如图,在三棱锥PABC中,ABBC,ABBCkPA,点O、D分别是AC、PC的中点,OP底面ABC ()当k时,求直线PA与平面PBC所成角的大小; () 当k取何值时,O在平面PBC内的射影恰好为PBC的重心?解:方法一:() O、D分别为AC、PC中点, (),又,PA与平面PBC所成的角的大小等于,()由()知,F是O在平面PBC内的射影D是PC的中点,若点F是的重心,则B,F,D三点共线,直线OB在平面PBC内的射影为直线BD,即反之,当时,三棱锥为正三棱锥,O在平面PBC内的射影为的重心方法二:,以O为原点,射线OP为非负z轴,建立空间直角坐标系(如图)设则,设,则()D为PC的中点,又,(),即,可求得平面PBC的法向量,设PA与平面PBC所成的角为,则,()的重心,又,即,反之,当时,三棱锥为正三棱锥,O在平面PBC内的射影为的重心2、(2006年)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面为直角梯形,ADBC,BAD=90,PA底面ABCD,且PAAD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点.()求证:PBDM; ()求CD与平面ADMN所成的角。解:方法一:(I)因为N是PB的中点,PA=AB,所以ANPB。因为AD平面PAB,所以ADPB,从而PB平面ADMN,因为DM平面ADMN,所以PBDM(II)取AD的中点G,连结BG、NG,则BGCD,所以BG与平面ADMN所成的角和CD与平面ADMN所成的角相等。因为PB平面ADMN,所以BGN是BG与平面ADMN所成的角。在RtBGN中,故CD与平面ADMN所成的角是。方法二:如图,以A为坐标原点建立空间直角坐标系A-XYZ,设BC=1,则A(0,0,0),P(0,0,2),B(2,0,0),C(2,1,0),M(1,1),D(0,2,0)()因为2)( 所以PBDM。()因为 ,所以PBAD,又因为PBDM,所以PB平面ADMN,因此的余角即是CD与平面ADMN所成的角。因为 =所以CD与平面ADMN所成的角为 3、(2007年)19(本题14分)在如图所示的几何体中,平面,平面,且,是的中点(I)求证:;(II)求与平面所成的角解:方法一:(I)证明:因为,是的中点,所以又平面,所以(II)解:过点作平面,垂足是,连结交延长交于点,连结,是直线和平面所成的角因为平面,所以,又因为平面,所以,则平面,因此设,在直角梯形中,是的中点,所以,得是直角三角形,其中,所以在中,所以,故与平面所成的角是方法二:如图,以点为坐标原点,以,分别为轴和轴,过点作与平面垂直的直线为轴,建立直角坐标系,设,则,(I)证明:因为,所以,故(II)解:设向量与平面垂直,则,即,因为,所以,即,直线与平面所成的角是与夹角的余角,所以,因此直线与平面所成的角是4、(2008年)如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,BE/CF,BCF=CEF=,AD=,EF=2。()求证:AE/平面DCF;()当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为?方法一:()证明:过点作交于,连结,DABEFCHG可得四边形为矩形,又为矩形,所以,从而四边形为平行四边形,故因为平面,平面,所以平面()解:过点作交的延长线于,连结由平面平面,得平面,从而所以为二面角的平面角DABEFCyzx在中,因为,所以,又因为,所以,从而于是因为,所以当为时,二面角的大小为方法二:如图,以点为坐标原点,以和分别作为轴,轴和轴,建立空间直角坐标系设,则,()证明:,所以,从而,所以平面因为平面,所以平面平面故平面()解:因为,所以,从而解得所以,设与平面垂直,则,解得又因为平面,所以,得到所以当为时,二面角的大小为5、(2009年)如图,平面平面,是以为斜边的等腰直角三角形,分别为,的中点, (I)设是的中点,证明:平面; (II)证明:在内存在一点,使平面,并求点到,的距离解:方法一:()证明:如图,连结,以点为坐标原点,分别以所在直线为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系则zCPFGEABOyx由题意,得因为,所以平面的法向量由,得又直线不在平面内,所以平面()解:设点的坐标为,则因为平面,所以因此,即点的坐标是在平面直角坐标系中,的内部区域可表示为不等式组经检验,点的坐标满足上述不等式组PCPFGEABOH所以,在内存在一点,使平面由点的坐标,得点到的距离分别为方法二:()证明:取的中点为,连结因为点分别是的中点,所以因此平面平面因为在平面内,所以平面()解:在平面内,过点作,交于点,交于点PCPFGEABOQNM连结,过点作,交于点下证平面由题意,得平面,所以又因为,所以平面因此平面在中,所以点在线段上因为是的中点,所以是的中点因此点在内,点到的距离分别为6、(2010年)如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在线段AB,AD上,AE=EB=AF= 沿直线EF将翻折成使平面平面BEF. (I)求二面角的余弦值; (II)点M,N分别在线段FD,BC上,若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折, 使C与重合,求线段FM的长.方法一: ()解:取线段EF的中点H,连结因为及H是EF的中点,所以又因为平面平面BEF,及平面所以平面BEF。如图建立空间直角坐标系则故设为平面的一个法向量所以,取又平面BEF的一个法向量,故所以二面角的余弦值为 ()解:设因为翻折后,C与A重合,所以CM=故,得经检验,此时点N在线段BG上,所以方法二: ()解:取截段EF的中点H,AF的中点G,连结,NH,GH因为及H是EF的中点,所以H/EF。又因为平面EF平面BEF,所以H平面BEF,又平面BEF,故,又因为G,H是AF,EF的中点,易知GH/AB,所以GH,于是面GH所以为二面角DFC的平面角,在中,所以故二面角DFC的余弦值为。 ()解:设,因为翻折后,G与重合,所以,而,得经检验,此时点N在线段BC上,所以7、(2011年)如图,在三棱锥P-ABC中,ABAC,D为BC的中点,PO平面ABC,垂足O落在线段AD上,已知BC8,PO4,AO3,OD2 ()证明:APBC;()在线段AP上是否存在点M,使得二面角A-MC-B为直二面角?若存在,求出AM的长;若不存在,请说明理由。8、(2012年)如图,在四棱锥中,底面是边长为的菱形,且平面,,分别为的中点。(1)证明:平面;(2)过点A作AQPC,垂足为点Q,求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值。浙江历年理科高考题之立体几何大题(教师版)1、(2005年)18如图,在三棱锥PABC中,ABBC,ABBCkPA,点O、D分别是AC、PC的中点,OP底面ABC ()当k时,求直线PA与平面PBC所成角的大小; () 当k取何值时,O在平面PBC内的射影恰好为PBC的重心?2、(2006年)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面为直角梯形,ADBC,BAD=90,PA底面ABCD,且PAAD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点.()求证:PBDM; ()求CD与平面ADMN所成的角。3、(2007年)19(本题14分)在如图所示的几何体中,平面,平面,且,是的中点(I)求证:;(II)求与平面所成的角4、(2008年)如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,BE/CF,BCF=CEF=,AD=,EF=2。()求证:AE/平面DCF;()当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为?5、(2009年)如图,平面平面,是以为斜边的等腰直角三角形,分别为,的中点, (I)设是的中点,证明:平面; (II)证明:在内存在一点,使平面,并求点到,的距离6、(2010年)如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在线段AB,AD上,AE=EB=AF= 沿直线EF将翻折成使平面平面BEF. (I)求二面角的余弦值; (II)点M,N分别在线段FD,BC上,若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折,使C与重合,求线段FM的长.7、(2011年)如图,在三棱锥P-ABC中,ABAC,D为BC的中点,PO平面ABC,垂足O落在线段AD上,已知BC8,PO4,AO3,OD2 ()证明:APBC;()在线段AP上是否存在点M,使得二面角A-MC-B为直二面角?若存在,求出AM的长;若不存在,请说明理由。8、(2012年)如图,在四棱锥中,底面是边长为的菱形,且平面,,分别为的中点。(1)证明:平面;(2)过点A作AQPC,垂足为点Q,求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值。9(2013浙江,理20)(本题满分15分)如图,在四面体ABCD中,AD平面BCD,BCCD,AD2,BD.M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ3QC(1)证明:PQ平面BCD;(2)若二面角CBMD的大小为60,求BDC的大小方法一:(1)证明:取BD的中点O,在线段CD上取点F,使得DF3FC,连结OP,OF,FQ,因为AQ3QC,所以QFAD,且QFAD因为O,P分别为BD,BM的中点,所以OP是BDM的中位线,所以OPDM,且OPDM.又点M为AD的中点,所以OPAD,且OPAD从而OPFQ,且OPFQ,所以四边形OPQF为平行四边形,故PQOF.又PQ平面BCD,OF平面BCD,
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