习题22.1 （2）抛掷一颗匀称质骰子两次， 以X表示前后两次出现点数之和，求X的概率分布，并验证其满足（2.2.2）式。2.1解：样本空间为，且每个样本点出现的概率均为，X的所有可能的取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，且有类似地 X的概率分布为满足： 2.2设离散随机变量的概率分布为， k=1，2,，试确定常数2.2解：由于，故2.3 甲、乙两人投篮，命中率分别为0.7,和0.4，今甲、乙两人各投篮两次，求下列事件的概率：（1）两人投中的次数相同 ； （2）甲比乙投中的次数多。2.3解：设分别为甲、乙投中的次数，则有，因此有（1） 两人投中次数相同的概率为（2） 甲比乙投中次数多的概率为 2.4设离散随机变量的概率分布为， k=1，2，.求（1）；（2）；2.4解：（1） （2）2.5设离散随机变量的概率分布为， k=1，2，3，4，5.求（1）；（2）；2.5解：（1） （2）2.6 设事件在每次试验中发生的概率为0.4，当A发生3次或3次以上时，指示灯发出信号，求下列事件的概率.（1）进行4次独立试验，指示灯发出信号；（2）进行5次独立试验，指示灯发出信号；2.6解：设X为4次独立试验时事件A发生的次数，设Y为5次独立试验时事件A发生的次数，则有（1）所求概率为：（2）所求概率为：2.7 某城市在长度为t（单位：小时）的时间间隔内发生火灾的次数X服从参数为的泊松分布，且与时间间隔的2无关，求下列事件的概率.（1）某天中午12点到下午15点末发生火灾；（2）某天中午12点到下午16点至小发生两次火灾。2.7解：（1）设X为中午12点到下午15点发生火灾的次数，根据题意可知，X服从参数为的泊松分布，所求概率为（2）设Y为中午12点到下午16点发生火灾的次数，根据题意可知，Y服从参数为的泊松分布，所求概率为2.8 为保证设备正常运行，必须配备一定数量的设备维修人员，现有同类设备180台，且各设备工作相互独立，任一时间设备发生故障的概率都是0.01。假定一台设备由一人进行修理，问至小配备多小设备维修人员，才能保证设备发生故障后得到及时维修的概率不小于0.99？.2.8解：设X为180台机器同时发生故障的台数，则，设需要n个维修人员才能保证，即，现在，于是，查表得，即6个维修人员可满足要求。其它2.9 某种元件的寿命X(单位：小时)的概率密度函数为：求5个元件使用1500小时后，恰有2个元件失效的概率。2.9解：设事件A为元件寿命大于1500小时，则设Y为5个元件中寿命不大于1500小时的元件个数，则，所求概率为：2.10 设某地区每天的用电量X(单位：百万千瓦)是一连续型随机变量，概率密度函数为： 假设每天供电量仅有80万千瓦时，求该地区每天的供电量不足的概率。若每天供电量上升到90万千瓦时，每天的供电量不足的概率是多小？2.10解：（1）若供电量为80万千瓦小时，则供电量不足的概率为：（2）若供电量为90万千瓦小时，则供电量不足的概率为：2.11设随机变量，求方程有实根的概率.2.11解：K的密度函数为：则方程有实根的概率为：2.12 设某型号的飞机雷达发射管的寿命X（单位：小时）服从参数为0.005的指数分布，求下列事件的概率：（1）发射管的寿命不超过100小时；（2）发射管的寿命超过300小时。（3）一只发射管的寿命不超过100小时，另一只发射管的寿命在100至300小时之间。2.12解：X的密度函数为：（1） 所求概率为 （2） 所求概率为 （3） 由于两个事件相互独立，故所求概率为 2.13 设每人每次打电话的时间X（单位：分钟）服从参数为0.5的指数分布，求282人次所打电话中，有两次或两次以上超过10分钟的概率。2.13解：设A为事件“打电话时间超过10分钟”，X为打电话时间，则X服从参数的指数分布，即，于是设Y为282人中“打电话时间超过10分钟”的人次，则。所求概率为2.14 某高校女生的收缩压X（单位：毫米汞柱）服从,求该校某名女生：（1）收缩压不超过105的概率；（2）收缩压在100至120之间的概率。2.14解：（1）收缩压不超过105的概率为：（2）收缩压在100至120之间的概率为：2.15 公共汽车门的高度按成年男性与车门碰头的机会不超过0.01设计的，设成年男性的身高X（单位：厘米）服从正态分布，问车门的最低高度应为多小？2.15解：设车门最低高度为a，则，即反查标准正态分布函数表得，即，即车门最低高度为184厘米。2.16 .20同类型产品中有2件次品，其余为正品，今从该20件产品中每次任取4次，每次只取1件，取后不放回，以X表示4次取到正品的件数，求的分布律与分布函数.2.16解：这是一个超几何分布问题，即X的概率分布为即的分布律为012X的分布函数为：2.17 .袋中有同类型的小球5只，编号分别为1,2,3,4,5，今在袋中任取小球3只，以X表示3总小球的最小号码，求随机变量的分布律与分布函数.2.17解：X的所有可能取值为1，2，3，其概率分布为123X的分布函数为：2.18.设连续型随机变量的分布函数为（1）求 .（2）求X的密度函数.2.18解：(1) 因为X是连续型随机变量，故（2）X的密度函数为2.18.设连续型随机变量的分布函数为（1）求常数（2）求X的概率密度函数，（3）求2.19解：（1）由于，得，又由于在点右连续，可得，即得（2）X的密度函数为（3）因为X是连续型随机变量，故2.20.设型随机变量的概率分布为：00.30.20.40.1求型随机变量Y的概率分布:(1) , (2) .2.20解：（1）由X的分布律得00.30.20.40.1于是即得的分布律：00.20.70.1(2) 由X的分布律得00.30.20.40.111于是即得的分布律：10.70.32.21.设型随机变量的分布函数为（1）求X的概率分布（2）求X的概率分布。2.21解：（1）的概率分布为：12（2）的概率分布为：120.82.22.设随机变量，求下列随机变量Y的概率密度函数：，求的密度函数.2.22解：的密度函数和分布函数分别为：， 且有（1）的密度函数和分布函数分别为，其中，因此的密度函数为（2）的密度函数和分布函数分别为，其中，当时于是的密度函数为（3）的密度函数和分布函数分别为，其中，于是的密度函数为2.23.设随机变量，求下列随机变量Y的概率密度函数：，求的密度函数.2.23解：的密度函数和分布函数分别为：， 且有（1）的密度函数和分布函数分别为，其中，因此的密度函数为（2）的密度函数和分布函数分别为，其中于是的密度函数为（3）的密度函数和分布函数分别为，其中于是的密度函数为第2章 综合练习1. 填空题 （1） 已知随机变量的分布列为 0 1 2 3 0.1 0.2 0.4 则：= 0.3 。（2）设的分布函数为，则 ； ；的概率分布 。（3）.设的概率分布为，则 ； 。（4）设随机变量的概率密度为，则：系数= ；= 。 （5）.设随机变量X的概率分布为 0则的分布律为 ，X的分布函数为 。（6）.设随机变量X的概率分布为，则常数 。(7)若随机变量X的概率密度为，则当 时，有。(8).设随机变量X的概率密度为，对X进行三次独立重复观察，用表示事件出现的次数，则 。(9).设连续型随机变量X的分布函数为则A= ， 。2.选择题（1）设随机变量X的概率密度为，且，F(x)是X的分布函数，则对任意实数a有（ ）A B. C D. （2）下述函数中，可作为某个随机变量的分布函数的是（ ）A. B. C. D. ，其中。（3）设，是随机变量，它们的分布函数分别为，为使是某一随机变量的分布函数，在下列给出的各组数中应取（ ）A ， B. ， C ， D. ， 4设随机变量的密度函数为，则使成立的常数（ ） 。 5. 设的概率分布为，则=( )。 () () () () 6设和均服从正态分布，记，则（ ） 对任何实数都有 对任何实数都有 仅对的个别值有 对任何实数都有计算题（1）一个工人在一台机器上独立地生产了三个同种零件，第i个零件不合格的概率为，以X表示三个零件中合格品的个数，求X的分布律。（2）设随机变量X的概率密度为，现对X进行n次独立重复观测，以表示观测值不大于0.1的次数，求的概率分布。（3）设随机变量，对X进行三次独立观测，求至少有两次观测值大于3的概率。（4）设测量的随机误差，试求在三次重复测量中，至少有一次误差的绝对值不大于30的概率。（5）设连续型随机变量X的分布密度为， 确定常数； 求X落在内的概率。（6）设连续型随机变量X的分布密度为，试求X的分布函数。（7）设连续型随机变量X的分布密度为，求 的分布密度； 的分布密度。综合练习答案填空题(1).0.3 ，(2)., (3). , (4).(5).2(6).,(7).,(8).,(9).A=1；选择题. （1）B；（2）B；（3）A，4.A, 5.C, 6.B3. （1）X的分布律为01