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数列通项公式的十种求法类型1 解法:把原递推公式转化为,利用累加法(逐差相加法)求解。例1. 已知数列满足,求。变式: 已知数列,且a2k=a2k1+(1)k, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,.(I)求a3, a5;(II)求 an的通项公式.类型2 解法:把原递推公式转化为,利用累乘法(逐商相乘法)求解。例1:已知数列满足,求。例2:已知, ,求。变式:(2004,全国I,理15)已知数列an,满足a1=1, (n2),则an的通项 类型3 (其中p,q均为常数,)。解法(待定系数法):把原递推公式转化为:,其中,再利用换元法转化为等比数列求解。例:已知数列中,求.变式:(2006,重庆,文,14)在数列中,若,则该数列的通项_变式:(2006. 福建.理22.本小题满分14分)已知数列满足(I)求数列的通项公式;(II)若数列bn滿足证明:数列bn是等差数列;()证明:类型4 (其中p,q均为常数,)。 (或,其中p,q, r均为常数) 。解法:一般地,要先在原递推公式两边同除以,得:引入辅助数列(其中),得:再待定系数法解决。例:已知数列中,,,求。变式:(2006,全国I,理22,本小题满分12分)设数列的前项的和,()求首项与通项;()设,证明:类型5 递推公式为(其中p,q均为常数)。解法一(待定系数法):先把原递推公式转化为其中s,t满足解法二(特征根法):对于由递推公式,给出的数列,方程,叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根,当时,数列的通项为,其中A,B由决定(即把和,代入,得到关于A、B的方程组);当时,数列的通项为,其中A,B由决定(即把和,代入,得到关于A、B的方程组)。解法一(待定系数迭加法):数列:, ,求数列的通项公式。例:已知数列中,,,求。变式:1.已知数列满足(I)证明:数列是等比数列;(II)求数列的通项公式;(III)若数列满足证明是等差数列 2.已知数列中,,,求3.已知数列中,是其前项和,并且,设数列,求证:数列是等比数列;设数列,求证:数列是等差数列;求数列的通项公式及前项和。类型6 递推公式为与的关系式。(或)解法:这种类型一般利用与消去 或与消去进行求解。例:已知数列前n项和.(1)求与的关系;(2)求通项公式.(2)应用类型4(其中p,q均为常数,)的方法,上式两边同乘以得:由.于是数列是以2为首项,2为公差的等差数列,所以变式:(2006,陕西,理,20本小题满分12分) 已知正项数列an,其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列,求数列an的通项an 变式: (2005,江西,文,22本小题满分14分)已知数列an的前n项和Sn满足SnSn2=3求数列an的通项公式.类型7 解法:这种类型一般利用待定系数法构造等比数列,即令,与已知递推式比较,解出,从而转化为是公比为的等比数列。例:设数列:,求.变式:(2006,山东,文,22,本小题满分14分)已知数列中,在直线y=x上,其中n=1,2,3 ()令 ()求数列()设的前n项和,是否存在实数,使得数列为等差数列?若存在试求出 不存在,则说明理由.类型8 解法:这种类型一般是等式两边取对数后转化为,再利用待定系数法求解。例:已知数列中,求数列变式:(2005,江西,理,21本小题满分12分)已知数列(1)证明 (2)求数列的通项公式an.变式:(2006,山东,理,22,本小题满分14分)已知a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上,其中=1,2,3,(1) 证明数列lg(1+an)是等比数列;(2) 设Tn=(1+a1) (1+a2) (1+an),求Tn及数列an的通项;记bn=,求bn数列的前项和Sn,并证明Sn+=1 类型9 解法:这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。例:已知数列an满足:,求数列an的通项公式。变式:(2006,江西,理,22,本大题满分14分)1.已知数列an满足:a1,且an(1) 求数列an的通项公式;(2) 证明:对于一切正整数n,不等式a1a2an2n!2、若数列的递推公式为,则求这个数列的通项公式。3、已知数列满足时,求通项公式。4、已知数列an满足:,求数列an的通项公式。5、若数列a中,a=1,a= nN,求通项a 类型10 解法:如果数列满足下列条件:已知的值且对于,都有(其中p、q、r、h均为常数,且),那么,可作特征方程,当特征方程有且仅有一根时,则是等差数列;当特征方程有两个相异的根、时,则是等比数列。例:已知数列满足性质:对于且求的通项公式. 例:已知数列满足:对于都有(1)若求(2)若求(3)若求(4)当取哪些值时,无穷数列不存在?变式:(2005,重庆,文,22,本小题满分12分)数列记()求b1、b2、b3、b4的值; ()求数列的通项公式及数列的前n项和类型11 或解法:这种类型一般可转化为与是等差或等比数列求解。例:(I)在数列中,求 (II)在数列中,求类型12 归纳猜想法解法:数学归纳法变式:(2006,全国II,理,22,本小题满分12分)设数列an的前n项和为Sn,且方程x2anxan0有一根为Sn1,n1,2,3,()求a1,a2;()an的通项公式 类型13双数列型解法:根据所给两个数列递推公式的关系,灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。例:已知数列中,;数列中,。当时,,,求,.类型14周期型 解法:由递推式计算出前几项,寻找周期。例:若数列满足,若,则的值为_。变式:(2005,湖南,文,5)已知数列满足,则=( )A0BCD一、公式法例1 已知数列满足,求数列的通项公式。解:两边除以,得,则,故数列是以为首项,以为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得,所以数列的通项公式为。评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为,说明数列是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出,进而求出数列的通项公式。公式法:已知(即)求,用作差法:。例2已知数列的前项和满足求数列的通项公式。解:由当时,有,经验证也满足上式,所以点评:利用公式求解时,要注意对n分类讨论,但若能合写时一定要合并练一练:已知的前项和满足,求;数列满足,求;二、累加法例2 已知数列满足,求数列的通项公式。解:由得则所以数列的通项公式为。评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为,进而求出,即得数列的通项公式。例3 已知数列满足,求数列的通项公式。由得则所以评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为,进而求出,即得数列的通项公式。例4 已知数列满足,求数列的通项公式。解:两边除以,得,则,故因此,则评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为,进而求出,即得数列的通项公式,最后再求数列的通项公式。累加法:若求:。例3. 已知数列满足,求。解:由条件知:分别令,代入上式得个等式累加之,即所以,如已知数列满足,则=_ ;三、累乘法例5 已知数列满足,求数列的通项公式。解:因为,所以,则,故所以数列的通项公式为评注:本题解题的关键是把递推关系转化为,进而求出,即得数列的通项公式。例6 (2004年全国I第15题,原题是填空题)已知数列满足,求的通项公式。解:因为所以用式式得则故所以由,则,又知,则,代入得。所以,的通项公式为评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为,进而求出,从而可得当的表达式,最后再求出数列的通项公式。累乘法:已知求,用累乘法:。例4. 已知数列满足,求。解:由条件知,分别令,代入上式得个等式累乘之,即又,如已知数列中,前项和,若,求四、待定系数法例7 已知数列满足,求数列的通项公式。解:设将代入式,得,等式两边消去,得,两边除以,得代入式得由及式得,则,则数列是以为首项,以2为公比的等比数列,则,故。评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为,从而可知数列是等比数列,进而求出数列的通项公式,最后再求出数列的通项公式。例8 已知数列满足,求数列的通项公式。解:设将代入式,得整理得。令,则,代入式得由及式,得,则,故数列是以为首项,以3为公比的等比数列,因此,则。评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为,从而可知数列是等比数列,进而求出数列的通项公式,最后再求数列的通项公式。例9 已知数列满足,求数列的通项公式。解:设 将代入式,得,则等式两边消去,得,解方程组,则,代入式,得 由及式,得则,故数列为以为首项,以2为公比的等比数列,因此,则。评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为,从而可知数列是等比数列,进而求出数列的通项公式,最后再求出数列的通项公式。五、对数变换法例10 已知数列满足,求数列的通项公式。解:因为,所以。在式两边取常用对数得设将式代入式,得,两边消去并整理,得,则,故代入式,得 由及式,得,则,所以数列是以为首项,以5为公比的等比数列,则,因此则。评注:本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为,从而可知数列是等比数列,进而求出数列的通项公式,最后再求出数列的通项公式。六、迭代法例11 已知数列满足,求数列的通项公式。解:因为,所以又,所以数列的通项公式为。评注:本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式两边取常用对数得,即,再由累乘法可推知,从而。七、数学归纳法例12 已知数列满足,求数列的通项公式。解:由及,得由此可猜测,往下用数学归纳法证明这个结论。(1)当时,所以等式成立。(2)假设当时等式成立,即,则当时,由此可知,当时等式也成立。根据(1),(2)可知,等式对任何都成立。评注:本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项,进而猜出数列的通项公式,最后再用数学归纳法加以证明。八、换元法例13 已知数列满足,求数列的通项公式。解:令,则故,代入得即因为,故则,即,可化为,所以是以为首项,以为公比的等比数列,因此,则,即,得。评注:本题解题的关键是通过将的换元为,使得所给递推关系式转化形式,从而可知数列为等比数列,进而求出数列的通项公式,最后再求出数列的通项公式。九、不动点法例14 已知数列满足,求数列的通项公式。解:令,得,则是函数的两个不动点。因为。所以数列是以为首项,以为公比的等比数列,故,则。评
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