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实数【无理数】1. 定义:无限不循环小数的小数叫做无理数;注:它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。2. 常见无理数的几种类型:(1)特殊意义的数,如:圆周率以及含有的一些数,如:2-,3等;(2)特殊结构的数(看似循环而实则不循环):如:2.010 010 001 000 01(两个1之间依次多1个0)等。(3)无理数与有理数的和差结果都是无理数。如:2-是无理数(4)无理数乘或除以一个不 为0的有理数结果是无理数。如2,(5)开方开不尽的数,如:等;应当要注意的是:带根号的数不一定是无理数,如:等;无理数也不一定带根号,如:)3.有理数与无理数的区别:(1)有理数指的是有限小数和无限循环小数,而无理数则是无限不循环小数;(2)所有的有理数都能写成分数的形式(整数可以看成是分母为1的分数),而无理数则不能写成分数形式。例:(1)下列各数:3.141、0.33333、0.03(相邻两个3之间0的个数逐次增加2)、其中是有理数的有;是无理数的有。(填序号)(2)有五个数:0.,0.,-,其中无理数有 ( )个【算术平方根】:1. 定义:如果一个正数x的平方等于a,即,那么,这个正数x就叫做a的算术平方根,记为:“”,读作,“根号a”,其中,a称为被开方数。例如32=9,那么9的算术平方根是3,即。特别规地,0的算术平方根是0,即,负数没有算术平方根2.算术平方根具有双重非负性:(1)若 有意义,则被开方数a是非负数。(2)算术平方根本身是非负数。3.算术平方根与平方根的关系:算术平方根是平方根中正的一个值,它与它的相反数共同构成了平方根。因此,算术平方根只有一个值,并且是非负数,它只表示为:;而平方根具有两个互为相反数的值,表示为:。例:(1)下列说法正确的是 ( )A1的立方根是; B;(C)、的平方根是; ( D)、0没有平方根; (2)下列各式正确的是( )A、 B、 C、 D、(3)的算术平方根是 。(4)若有意义,则_。(5)已知ABC的三边分别是且满足,求c的取值范围。(6)(提高题)如果x、y分别是4的整数部分和小数部分。求x y的值.平方根:1.定义:如果一个数x的平方等于a,即,那么这个数x就叫做a的平方根;,我们称x是a的平方(也叫二次方根),记做:2.性质:(1)一个正数有两个平方根,且它们互为相反数;(2)0只有一个平方根,它是0本身; (3)负数没有平方根例(1)若的平方根是2,则x= ;的平方根是 (2)当x 时,有意义。(3)一个正数的平方根分别是m和m-4,则m的值是多少?这个正数是多少?3. (1)(2)中,a可以取任意实数。如例:1.求下列各式的值(1) (2) (3)2.已知,那么a的取值范围是 。3.已知2x3,化简 。【立方根】1.定义:一般地,如果以个数x的立方等于a,即x3=a,那么这个数x就叫做a的立方根(也叫做三次方根)记为,读作,3次根号a。如23=8,则2是8的立方根,0的立方根是0。2.性质:正数的立方根的正数;0的立方根是0;负数的立方根是负数。立方根是它本身的数有0,1,-1.例:(1)64的立方根是(2)若,则b等于(3)下列说法中:都是27的立方根,的立方根是2,。其中正确的有 ( ) A、1个 B、2个 C、3个 D、4个比较两个数的大小: 方法一:估算法。如34 方法二:作差法。如ab则a-b0.方法三:乘方法.如比较的大小。例:比较下列两数的大小(1) (2)【实数】定义:(1)有理数与无理数统称为实数。在实数中,没有最大的实数,也没有最小的实数;绝对值最小的实数是0,最大的负整数是-1。(2)实数也可以分为正实数、0负实数。实数的性质:实数a的相反数是-a;实数a的倒数是(a0);实数a的绝对值|a|=,它的几何意义是:在数轴上的点到原点的距离。实数的大小比较法则:实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同:即正数大于0,0大于负数;正数大于负数;两个正数,绝对值大的就大,两个负数,绝对值大的反而小。(在数轴上,右边的数总是大于左边的数)。对于一些带根号的无理数,我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。实数的运算:在实数范围内,可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有理数的一样实数与数轴的关系:每个实数与数轴上的点是一一对应的(1)每个实数可以以用数轴上的一个点来表示。(2)数轴上的每个点都表示已个实数。例:(1)下列说法正确的是( );A、任何有理数均可用分数形式表示 ; B、数轴上的点与有理数一一对应 ;C、1和2之间的无理数只有 ; D、不带根号的数都是有理数。(2)a,b在数轴上的位置如图所示,则下列各式有意义的是( )b0aA、 B、 C、 D、(3)比较大小(填“”或“”).3 , , , ,(4)数 的大小关系是 ( ) A. B. C. D.(5)将下列各数:,用“”连接起来;_。(6)若,且,则:= 。【二次根式】定义:形如的式子叫做二次根式,a叫做被开方数注意:(1)从形式上看二次根式必须有二次根号“”,如是二次根式,而=3,3显然就不是二次根式。(2)被开方数a可以是数,也可以是代数式。若a是数,则这个数必须是非负数;若a是代数式,则这个代数式的取值必须是非负数,否则没有意义。例:下列根式是否为二次根式 (1) (2) (3) (4)二次根式的性质: 性质1: 积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积,运用这个性质也可以对二次根式进行化简。性质2: 商的算术平方根等于被除数的算术平方根除以除数的算术平方根。最简二次根式:被开方数中不含分母,也不含能开得尽方的因数或因式,这样的二次根式,叫做最简二次根式。例:1.化简:(1) (2) (3)2.计算: 3.已知:,求代数式的值。4.(提高题)观察下列等式:回答问题: ,(1)根据上面三个等式的信息,请猜想的结果;(2)请按照上式反应的规律,试写出用n表示的等式,并加以验证。在已确定的场地上,采用多种手段查明场地工程地质条件;采用综合评价方法,对场地和地基稳定性做出结论;对不良地质作用和特殊性岩土的防治、地基基础形式、埋深、地基处理等方案的选型提出建议;提供设计、施工所需的岩土工程资料和参数。
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