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实数的大小比较的常用方法一、法则法比较实数大小的法则是:正数都大于零,零大于一切负数,两个负数相比较,绝对值大的反而小。例1 比较与的大小。析解:由于,且,所以。说明:利用法则比较实数的大小是最基本的方法,对于两个负数的大小比较,可将它转化成正数进行比较。二、平方法用平方法比较实数大小的依据是:对任意正实数a、b有:。例2 比较与的大小。析解:由于,而,所以。说明:本题也可以把外面的因数移到根号内,通过比较被开方数大小来比较原数的大小,目的是把含有根号的无理数的大小比较实数转化成有理数进行比较。三、数形结合方法用数形结合法比较实数大小的理论依据是:在同一数轴上,右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。例3 若有理数a、b、c对应的点在数轴上的位置如图1所示,试比较a、a、b、b、c、c的大小。析解:如图2,利用相反数及对称性,先在数轴上把数a、a、b、b、c、c表示的点画出来,容易得到结论:四、作差法: 差值比较法的基本思路是设a,b为任意两个实数,先求出a与b的差,再根据当ab0时,得到ab。当ab0时,得到ab。当ab0,得到a=b。例1:(1)比较与的大小。 (2)比较1与1的大小。解 0 , 。解 (1)(1)=0 , 11。例2、比较的大小。解析:因为,所以。五、作商法比较实数的大小的依据是:对任意正数a、b有:来比较a与b的大小。例1:比较与的大小。解:=1 例2 比较与的大小。析解:设,则即例3:比较与的大小 解:=1 所以六、倒数法 倒数法的基本思路是设a,b为任意两个正实数,先分别求出a与b的倒数,再根据当时,ab。来比较a与b的大小。例1:比较与的大小。解=+ , =+又+例2、已知a1,b2,试比较与的大小 解:=+=2+ 因为a1,所以2+3=+=3+因为b2,所以3+3 因为 所以例3、设,则a、b、c的大小关系是( )。A、abc B、acb C、cba D、bca解析:当几个式子中的被开方数的差相等且式子中的运算符号相同时,可选用倒数法。首先,因为,所以,则bc。又因为,所以,则ab。由此可得:abc。故选A。七、平方法 平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方,再根据a0,b0时,可由得到ab来比较大小,这种方法常用于比较无理数的大小。例5:比较与的大小解:, =8+2。又8+28+2 。八、估算法估算法的基本是思路是设a,b为任意两个正实数,先估算出a,b两数或两数中某部分的取值范围,再进行比较。例4:比较与的大小解:34 31 九比较被开方数法。基本是思路是,当a0,b0,若要比较形如a的大小,可先把根号外的因数a与c平方后移入根号内,再根据被开方数的大小进行比较。例6:比较2与3的大小解:2=,3=。又2827, 23。十、特殊值法比较两个实数的大小,有时取特殊值会更简单。例1:当时,的大小顺序是_。解:(特殊值法)取=,则:=,=2。2,。例2、已知xy0,设,则M、N、P、Q的大小关系是( )。A、MQPN B、MPQN C、QNPM D、NQPM解析:根据条件,不妨设,则M=4,N=1,。不难得到:NQPM。因此,应选D。例3、已知a1,b2,则_ (填、或=) 分析:为填空题,可用赋值法。取a=2,b=3代入, 所以填入“”。例4 设a20,b(3)2,c,d,则a、b、c、d按由小到大的顺序排列正确的是()A.cadb B.bdac C.acdb D.bcad分析可以分别求出a、b、c、d的具体值,从而可以比较大小.解因为a201,b(3)29,c,d2,而129,所以cadb.故应选A.除以上七种方法外,还有利用数轴上的点,右边的数总比左边的数大;以及绝对值比较法等比较实数大小的方法。对于不同的问题要灵活用简便合理的方法来解题。能快速地取得令人满意的结果。十一、 中间值法(还是判不了,就把中人找) 如果ac,cb,那么ab。若通过放缩能够确定两个实数中的一个比某个数小,而另一个恰好比该数大时,可选用此法。例1、比较的大小。解析:因为,所以。所以,即。例2、比较3.55和的大小 解: 3.553.5 即3.5所以3.553.5 即3.55十二、分子有理化法例14、比较的大小。解析:,。因为,故,所以。在已确定的场地上,采用多种手段查明场地工程地质条件;采用综合评价方法,对场地和地基稳定性做出结论;对不良地质作用和特殊性岩土的防治、地基基础形式、埋深、地基处理等方案的选型提出建议;提供设计、施工所需的岩土工程资料和参数。5
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