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.*2017年高一数学竞赛试题参考答案及评分标准(考试时间:5月14日上午8:3011:00)一、选择题(每小题6分,共36分)1已知集合,则集合中所有元素的和为( )A B0 C2 D3【答案】 B 【解答】由,得。又。因此。所以,集合中所有元素的和为0。2已知正三棱锥的三条侧棱、两两互相垂直,若三棱锥外接球的表面积为,则三棱锥的体积为( ) A B C D【答案】 C 【解答】设,则三棱锥外接球的半径。(第2题图)由,得。 ,三棱锥的体积。3已知为实数,若存在实数,使得,且,则的取值范围为( )A B C D【答案】 C 【解答】 由,得 , ,即,解得或。 的取值范围为。4、是两条不重合的直线,、是两个不重合的平面,则下列命题中,正确的命题的个数是( )(1)对、外任意一点,存在过点且与、都相交的直线;(2)若,则;(3)若,且,则;(4)若,则。 A1 B2 C3 D4【答案】 B (第4题图)【解答】(1)不正确。如图,在正方体中,取为直线,为直线。过点的直线如果与直线相交,则在内,此时与直线不相交。(2)、(3)正确。(4)不正确。如图,正方体的面内取两条与平行的直线,如图中的直线与,则有,但与面相交而不平行。5已知函数,若对任意实数均有,则的最小值为( )A B C D【答案】 A 【解答】 依题意,的图像关于直线对称。 ,。于是,解得。,时,。 ,即。此时,符合题意。 ,即时,取最小值。6已知,若,且,则的最小值为( )A B C D【答案】 D 【解答】 由,得。 。设,则。 , ,解得,即,。 ,即。 ,即。由,知,。 ,解得。因此,。又当时,代入前面解得,。符合题设要求。 的最小值为。二、填空题(每小题6分,共36分)7已知定义在上的函数(,且)的值域也是,则的值为 。【答案】 【解答】当时,在上为增函数,依题意有,方程组无解。当时,在上为减函数,依题意有,解得。所以,。8如图,在三棱锥中,。设与所成的角为,则的值为 。【答案】 【解答】如图,取中点,连接,。 , ,。 ,。(第8题图)又由,知是等边三角形。作于,则,且。 是与所称的角。 。(第8题图)9已知,点在线段内,且平分,则点的坐标为 。【答案】 【解答】如图,方程为,设()。又直线方程为,方程为,平分。 点到直线、距离相等。 。(第9题图)解得,(舍去)或。因此,点坐标为。10设是定义在上以2为周期的偶函数,且在区间上单调递减。若,则不等式组的解集为 。【答案】 【解答】 是偶函数,且在区间上单调递减。 在区间上为增函数。又是以2为周期的周期函数, 在区间上为增函数。又,以及是以2为周期的偶函数。 ,。又, 不等式组的解集为。11已知,定义,则 。【答案】 【解答】 依题意,有,一般地,有。所以,。12已知,且,则的最大值为 。【答案】 【解答】由,知,当且仅当,且,即,时,等号成立。所以,的最大值为。三、解答题(第13、14、15、16题每题16分,第17题14分,满分78分)13已知,且当时,恒成立。(1)求的解析式;(2)已知、是函数图像上不同的两点,且。当、为整数,时,求直线的方程。【解答】(1)依题意,。 ,且。 。 4分此时,可见在区间上的最小值为。 的对称轴为,即,。 。 8分(2)由(1)知,。同理。 , 。 。 12分又、为整数,且, ,或,或。结合,得,。 、坐标分别为、。 直线的方程为。 16分14过直线:上一点作圆:的两条切线、,、为切点。(1)在上是否存在点,使得?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由;(2)若直线过原点,求点的坐标。【解答】(1)假设符合条件的点存在。则由,知。 , 。 4分另一方面,由圆心到直线的距离,知。即,矛盾。因此,假设不成立。 符合条件的点不存在。 8分(2)设为直线上一点。则。 点、在以为圆心,半径为的圆上,即点、在圆上,即圆上。又点、在圆:上,即圆上。将上述两圆方程联立,消二次项,得。 直线方程为。 12分由直线过原点知,。联立,解得,。 点的坐标为。 16分15如图,为锐角三角形,于,为的垂心,为的中点。点在线段上,且。(1)求证:;(2)求证:。【解答】(1)由条件知, 、四点共圆。 。 4 分 为的中点, ,。延长交于点。由为的垂心知,。(第15题图) 。 。又, 。 8分(2)由(1)知,。又, 。 。 12分又,(第15题图) 。又, 。 。 16分 16已知为定义在上的奇函数,且当时,。(1)若函数恰有两个不相同的零点,求实数的值;(2)记为函数的所有零点之和。当时,求的取值范围。 【解答】 (1)如图,作出函数的草图。(第16题图)由图像可知,当且仅当或时,直线与函数的图像有两个不同的交点。所以,当且仅当或时,函数恰有两个不相同的零点。因此,或。 4分(2)由的图像可知,当时,有6个不同的零点。 8分设这6个零点从左到右依次设为,。则,是方程的解,是方程的解。 。 12分 时, 。 时,的取值范围为。 16分17设集合是一个由正整数组成的集合,且具有如下性质: 对任意,在中去掉后,剩下的数的算术平均数都是正整数; ,且是中最大的数。求的最大值。(符号表示集合中元素的个数)【解答】依题意,设,且。记,则,其中,2,3,。 对任意,有。 5分 对任意,。又, 任意,。 任意,。于是,。即,。 。 10分另一方面,令,2,3,31,则符合要求。 的最大值为31,即的最大值为31。 14分
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