第7讲 角平分线的判定与性质【知识点与方法梳理】角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。角平分线的判定定理：到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。角平分线的作法（尺规作图）以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；过点P作射线OP，射线OP即为所求角平分线的性质及判定1.角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等推导已知：OC平分MON，P是OC上任意一点，PAOM，PBON，垂足分别为点A、点B求证：PAPB证明：PAOM，PBONPAOPBO90OC平分MON12在PAO和PBO中，PAOPBOPAPB几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）OP平分MON（12），PAOM，PBON，PAPB2角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上推导：已知：点P是MON内一点，PAOM于A，PBON于B，且PAPB求证：点P在MON的平分线上证明：连结OP在RtPAO和RtPBO中，RtPAORtPBO（HL）12OP平分MON即点P在MON的平分线上几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上）PAOM，PBON，PAPB12（OP平分MON）【经典例题】例1已知：如图，ABC中， C=90，AD是ABC的角平分线，DEAB于E，F在AC上BD=DF，ACDEBF求证：CF=EB例2.已知：如图，AD、BE是ABC的两条角平分线，AD、BE相交于O点求证：O在C的平分线上例3.如图ABCD，B90，E是BC的中点。DE平分ADC，求证：AE平分DAB。例4.已知：如图，在ABC中，AD是ABC的角平分线，E、F分别是AB、AC上一点，并且有EDFEAF180试判断DE和DF的大小关系并说明理由【经典练习】1如图，CDAB，BEAC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OBOC，求证BAOCAO2.如图，OC是AOB的角平分线，P是OC上一点，PDOA交于点D，PEOB交于点E，F是OC上除点P、O外一点，连结DF、EF，则DF与EF的关系如何？证明你的结论。FEDCBAOP3.如图，在CD上求作一点P，使它到OA，OB的距离相等（写出作法）。ODCBA4.要将如图中的MON平分，小梅设计了如下方案：在射线OM，ON上分别取OAOB，过A作DAOM于A，交ON于D，过B作EBON于B交OM于E，AD，EB交于点C，过O，C作射线OC即为MON的平分线，试说明这样做的理由.5.如图ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE、DF 分别垂直AB、AC，垂足为E、F ， 求证：EB=FCAEBDCF6. 如图，在ABC中，AD为BAC的平分线，DEAB于E，DFAC于F，ABC面积是28，AB8cm，AC6cm，求DE的长 7、已知：如图，BC90，M是BC的中点，DM平分ADC（1）求证：AM平分DAB；（2）猜想AM与DM的位置关系如何？并证明你的结论【巩固练习】基础训练题1.如图，在RtABC中，C=90，BD是ABC的平分线，交AC于点D，若CD=n，AB=m，则ABD的面积是（ ）A.m+n B. mn C. D. 2.如图，已知AC平分PAQ，点B，B分别在边AP，AQ上，如果添加一个条件，即可推出AB=AB，那么该条件不可以是（ ）A、BBAC B、BC=BC C、ACB=ACB D、ABC=ABC3、如图，FDAO于D，FEBO于E，下列条件：OF是AOB的平分线；DF=EF；DO=EO；OFD=OFE。其中能够证明DOFEOF的条件的个数有（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4.如图，在ABC中，,分别是AB、AC上的点，EF=5 cm，BP、CP分别是ABC和ACB的角平分线，且PDBC于D，PEAB于E, PFAC于F,已知PD=4cm则PEF的周长是_ cm.5.如图（7）：ACBC，BM平分ABC且交AC于点M，N是AB的中点且BN=BC。求证：（1）MN平分AMB，（2）A=CBM。6.如图：在ABC中，B，C相邻的外角的平分线交于点D。求证：点D在A的平分线上。7.如图8、ABCD，PCD的面积等于PAB的面积，求证：OP平分BOD。8.如图9、在ABC中，B60，ABC的角平分线AD、CE交于点O，求证：AE+CDAC。能力提高题1.已知：如图，C2B，12，求证：ABAC+CD。2.已知，如图2，12，P为BN上一点，且PDBC于D，AB+BC2BD，求证：BAP+BCP180。3、如图，已知CAD=CDA，AC=BD，E在BC上，DE=EC，求证：AD平分BAE A B D E C(提示:延长AE到P,使得EP=AE,连接CP,证三角形ABD与PAC全等)4.如图，已知ABCD，O是ACD，CAB的平分线的交点，且OEAC于E点，OE=12，求AB与CD之间的距离 A B E O C D5.如图，已知BEAC于E，CFAB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD求证：AD平分BAC.课后作业1.如图，在RtABC中，C90，BD是ABC的平分线，交AC于D，若CDn，ABm，则ABD的面积是（ ）AB Cmn D2mn2.如图，OP平分AOB，PCOA于C，PDOB于D，则PC与PD的关系是（ ）A. PCPDB. PCPD C. PCPDD. 不能确定3. 如图，点P是BAC的平分线AD上一点，PEAC于点E，已知PE3，则点P到AB的距离是A. 3 B. 4 C. 5 D. 64.如图，MPNP，MQ平分NMP，MTMP，连结TQ，则下列不正确的是（ ） ATQPQ B.MQTMQP C.QTN90D.NQTMQT 第2题 第3题 第4题 第5题5.如图，在ABC中，AD平分BAC，DEAB于E，DFAC于F，M为AD上任意一点，则下列结论错误的是( )A.DEDF B.MEMF C.AEAF D.BDDC6.已知：如图3，在RtABC中，C90，沿着过点B的一条直线BE折叠ABC使C点恰好落在AB边的中点D处，则A的度数等于_7.如图所示ADDC，BCDC，E是DC上一点，AE平分DAB，BE平分ABC，ABCDE求证：AB=AD+AC。8已知：如图，CDAB于D，BEAC于E，CD、BE交于O，12求证：OBOC. 9.已知：如图95，OD平分POQ，在OP、OQ边上取OAOB，点C在OD上，CMAD于M，CNBD于N.求证：CMCNABCDEF10.如图，在ABC中，AD平分BAC，EF是线段AD的垂直平分线，求证：CAFABD11.已知：如图，A、B、C、D四点在MON的边上，ABCD，P为MON内一点，并且PAB的面积与PCD的面积相等求证：射线OP是MON的平分线非物质文化遗产是指各族人民世代传承的，与群众生活密切相关的各种传统文化表现形式和文化空间，包括民俗活动、表演艺术、传统知识和技能以及与之相关的器具、实物、手工制品等11