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-/高中数学必修1函数的基本性质1奇偶性(1)定义:如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(x)=f(x),则称f(x)为奇函数;如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(x)=f(x),则称f(x)为偶函数。如果函数f(x)不具有上述性质,则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质,则f(x)既是奇函数,又是偶函数。注意: 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质; 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)。(2)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤: 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; 确定f(x)与f(x)的关系; 作出相应结论:若f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0,则f(x)是偶函数;若f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0,则f(x)是奇函数。(3)简单性质:图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称;设,的定义域分别是,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇奇=偶,偶+偶=偶,偶偶=偶2单调性(1)定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2)),那么就说f(x)在区间D上是增函数(减函数);注意: 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2;当x1x2时,总有f(x1)f(x2)(2)如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间。(3)设复合函数y= fg(x),其中u=g(x) , A是y= fg(x)定义域的某个区间,B是映射g : xu=g(x) 的象集:若u=g(x) 在 A上是增(或减)函数,y= f(u)在B上也是增(或减)函数,则函数y= fg(x)在A上是增函数;若u=g(x)在A上是增(或减)函数,而y= f(u)在B上是减(或增)函数,则函数y= fg(x)在A上是减函数。(4)判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤: 任取x1,x2D,且x1x2; 作差f(x1)f(x2); 变形(通常是因式分解和配方); 定号(即判断差f(x1)f(x2)的正负); 下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)。(5)简单性质奇函数在其对称区间上的单调性相同;偶函数在其对称区间上的单调性相反; 在公共定义域内:增函数增函数是增函数;减函数减函数是减函数;增函数减函数是增函数;减函数增函数是减函数。3最值(1)定义:最大值:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:对于任意的xI,都有f(x)M;存在x0I,使得f(x0) = M。那么,称M是函数y=f(x)的最大值。最小值:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:对于任意的xI,都有f(x)M;存在x0I,使得f(x0) = M。那么,称M是函数y=f(x)的最大值。注意: 函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在x0I,使得f(x0) = M; 函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的xI,都有f(x)M(f(x)M)。(2)利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法: 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值; 利用图象求函数的最大(小)值; 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:如果函数y=f(x)在区间a,b上单调递增,在区间b,c上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);如果函数y=f(x)在区间a,b上单调递减,在区间b,c上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);4周期性(1)定义:如果存在一个非零常数T,使得对于函数定义域内的任意x,都有f(x+T)= f(x),则称f(x)为周期函数;(2)性质:f(x+T)= f(x)常常写作若f(x)的周期中,存在一个最小的正数,则称它为f(x)的最小正周期;若周期函数f(x)的周期为T,则f(x)(0)是周期函数,且周期为。四典例解析【奇偶性典型例题】例1以下五个函数:(1);(2);(3);(4); (5),其中奇函数是_ _,偶函数是_ _,非奇非偶函数是 _点评:判断函数的奇偶性是比较基本的问题,难度不大,解决问题时应先考察函数的定义域,若函数的解析式能化简,一般应考虑先化简,但化简必须是等价变换过程(要保证定义域不变)。题型二:奇偶性的应用例2设f(x)是定义在R上的奇函数,若当x0时,f(x)=log3(1+x),则f(2)=_ _。例3已知奇函数,当(0,1)时,那么当(1,0)时,的表达式是 例4若奇函数是定义在(,1)上的增函数,试求a的范围:解:由已知得因f(x)是奇函数,故 ,于是又是定义在(1,1)上的增函数,从而即不等式的解集是【单调性典型例题】例1(1)则a的范围为( ) A B C D (2)函数)是单调函数的充要条件是( ) A B C D(3)已知在区间上是减函数,且,则下列表达正确的是( )A BC D提示:可转化为和在利用函数单调性可得.(4) 如右图是定义在闭区间上的函数的图象,该函数的单调增区间为 例2画出下列函数图象并写出函数的单调区间(1) (2)例3根据函数单调性的定义,证明函数 在 上是减函数例4.设是定义在R上的函数,对、恒有,且当时,。(1)求证:; (2)证明:时恒有;(3)求证:在R上是减函数; (4)若,求的范围。解:(1)取m=0,n= 则,因为 所以 (2)设则 由条件可知又因为,所以 时,恒有(3)设则 = = 因为所以所以即 又因为,所以 所以,即该函数在R上是减函数.(4) 因为,所以所以,所以例5:(复合函数单调性)1.函数 的增区间是( ).A 3,1 B 1,1 C D 2.函数y的单调递增区间为( )A B C D题型五:周期问题例6已知函数是定义在上的周期函数,周期,函数是奇函数又知在上是一次函数,在上是二次函数,且在时函数取得最小值。证明:;求的解析式;求在上的解析式。解:是以为周期的周期函数,又是奇函数,。当时,由题意可设,由得,。是奇函数,又知在上是一次函数,可设,而,当时,从而当时,故时,。当时,有,。当时,。(数学1必修)第一章(下) 函数的基本性质基础训练A组一、选择题1 已知函数为偶函数,则的值是( )A B C D 2 若偶函数在上是增函数,则下列关系式中成立的是( )A B C D 3 如果奇函数在区间 上是增函数且最大值为,那么在区间上是( )A 增函数且最小值是 B 增函数且最大值是C 减函数且最大值是 D 减函数且最小值是4 设是定义在上的一个函数,则函数在上一定是( )A 奇函数 B 偶函数 C 既是奇函数又是偶函数 D 非奇非偶函数 5 下列函数中,在区间上是增函数的是( )A B C D 6 函数是( )A 是奇函数又是减函数 B 是奇函数但不是减函数 C 是减函数但不是奇函数 D 不是奇函数也不是减函数二、填空题1 设奇函数的定义域为,若当时, 的图象如右图,则不等式的解是 2 函数的值域是_ 3 已知,则函数的值域是 4 若函数是偶函数,则的递减区间是 5 下列四个命题(1)有意义; (2)函数是其定义域到值域的映射;(3)函数的图象是一直线;(4)函数的图象是抛物线,其中正确的命题个数是_ 三、解答题1 判断一次函数反比例函数,二次函数的单调性 2 已知函数的定义域为,且同时满足下列条件:(1)是奇函数;(2)在定义域上单调递减;(3)求的取值范围 3 利用函数的单调性求函数的值域;4 已知函数 当时,求函数的最大值和最小值; 求实数的取值范围,使在区间上是单调函数 (数学1必修)第一章下 基础训练A组参考答案一、选择题 1 B 奇次项系数为2 D 3 A 奇函数关于原点对称,左右两边有相同的单调性4 A 5 A 在上递减,在上递减,在上递减,6 A 为奇函数,而为减函数 二、填空题1 奇函数关于原点对称,补足左边的图象2 是的增函数,当时,3 该函数为增函数,自变量最小时,函数值最小;自变量最大时,函数值最大4 5 (1),不存在;(2)函数是特殊的映射;(3)该图象是由离散的点组成的;(4)两个不同的抛物线的两部分组成的,不是抛物线 三、解答题1 解:当,在是增函数,当,在是减函数;当,在是减函数,当,在是增函数;当,在是减函数,在是增函数,当,在是增函数,在是减函数 2 解:,则,3 解:,显然是的增函数, 4 解:对称轴(2)对称轴当或时,在上单调或
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