历年全国高中数学联赛试题及答案解析全集（1988-2015）目录2015全国高中数学联赛试题及答案解析2014全国高中数学联赛试题及答案解析2013全国高中数学联赛试题及答案解析2012全国高中数学联赛试题及答案解析2011全国高中数学联赛试题及答案解析2010全国高中数学联赛试题及答案解析2009全国高中数学联赛试题及答案解析2008全国高中数学联赛试题及答案解析2007全国高中数学联赛试题及答案解析2006全国高中数学联赛试题及答案解析2005全国高中数学联赛试题及答案解析2004全国高中数学联赛试题及答案解析2003全国高中数学联赛试题及答案解析2002全国高中数学联赛试题及答案解析2001全国高中数学联赛试题及答案解析2000全国高中数学联赛试题及答案解析1099全国高中数学联赛试题及答案解析1098全国高中数学联赛试题及答案解析1097全国高中数学联赛试题及答案解析1096全国高中数学联赛试题及答案解析1095全国高中数学联赛试题及答案解析1094全国高中数学联赛试题及答案解析1093全国高中数学联赛试题及答案解析1092全国高中数学联赛试题及答案解析1091全国高中数学联赛试题及答案解析1090全国高中数学联赛试题及答案解析1089全国高中数学联赛试题及答案解析1088全国高中数学联赛试题及答案解析2015全国高中数学联赛安徽省初赛试卷（考试时间：2015年7月4日上午9:0011:30）题号一二总分9101112得分评卷人复核人注意：1本试卷共12小题，满分150分；2请用钢笔、签字笔或圆珠笔作答；3书写不要超过装订线；4不得使用计算器一、填空题（每题8分，共64分）1. 函数的最小值是 2. 设数列的通项公式是 3. 设平面向量满足，则的取值范围是 4. 设是定义域为的具有周期的奇函数，并且，则在中至少有 个零点5. 设为实数，且关于的方程有实根，则的取值范围是 .6. 给定定点，动点满足线段的垂直平分线与抛物线相切，则的轨迹方程是 7. 设为复数，其中是实数，是虚数单位，其满足的虚部和的实部均非负，则满足条件的复平面上的点集所构成区域的面积是 8. 设是正整数把男女乒乓球选手各人配成男双、女双、混双各对，每位选手均不兼项，则配对方式总数是 二、解答题（第9题20分，第1012题22分，共86分）9. 设正实数满足求证：10. 在如图所示的多面体中，已知都与平面垂直设，求四面体与公共部分的体积（用表示）11. 设平面四边形的四边长分别为4个连续的正整数。证明：四边形的面积的最大值不是整数。12. 已知31位学生参加了某次考试，考试共有10道题，每位学生解出了至少6道题求证：存在两位学生，他们解出的题目中至少有5道相同试题解答一、填空题（每题8分，共64分）1. 当时，, 因此单调减；当时， ，此时亦单调减；当时，. 令得 因此在处取得最小值6-2ln22. 设方程有实根双曲线与圆有公共交点. 注意到圆的圆心位于直线之上，只须找到圆与双曲线相切时圆心的位置即可. 易计算得，圆与双曲线切于A(1,1)点时，圆心坐标为或.圆与双曲线切于B(-1,-1)点时，圆心坐标为或.因此，a的取值范围为3. 由和，可得故4. 以上等号均可取到故的取值范围是5. 由题设可知。令x=0得。 另一方面， 类似地， 因此，在中的零点一定包含这11个零点6. 设的垂直平分线与抛物线相切于，切向为. 则的方程为设，由与垂直且中点在上，可得 由解得，代入得的轨迹方程为，7. 等价于. 又由于，故满足条件的点集构成了圆的一部分，计算得其面积为 8. 从3n名男选手中选取2n人作为男双选手有种选法，把他们配成n对男双选手有种配对方式。女选手类似。把n个男选手和n个女选手配成n对混双有n!种配对方式。因此，配对方式总数是二、 解答题（第9题20分，第1012题每题22分，共86分）9. 证明：对任意，由均值不等式有 -（5分）因此， -（15分）同理，对于任意，因此，-（20分）10. 设，则四面体是与的公共部分-（5分）易计算得：到直线的距离，-（10分）到平面的距离， -（15分）到直线的距离，-（20分）因此，-（22分）11. 不妨设是凸四边形，其面积为S记。由，可得，-（8分）两遍平方和得等号成立当且仅当，即四点共圆-（16分） 现根据假设为四个连续整数 由此 . 显然 因此，S不是整数。-（22分）12. 证明：设是所有试题的集合，是第位学生解出的试题的集合，题目即证存在使得-（5分）不妨设共有个三元子集，每个恰包含4个三元子集因此，存在使得包含相同的三元子集，-（15分）从而，-（22分）2014年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷一、填空题（每题8分，共64分） 1. 函数的值域是_.2. 函数在中的零点个数是_3. 设定点，动点在轴上，动点在直线上，则的周长的最小值是_ 4. 设是平面上两点，是关于的对称点，是关于的对称点,若，则_5. 已知四面体的侧面展开图如下图所示，则其体积是_6. 设复数满足，则的取值范围是_7. 设动点，其中参数，则线段扫过的平面区域的面积是_8. 从正12边形的顶点中取出4个顶点，它们两两不相邻的概率是_二、解答题（第910题每题21分，第1112题22分，共86分） 9. 已知正实数满足求证：10. 设数列满足求证：（1） 当时，严格单调递减（2） 当时，这里11. 已知平面凸四边形的面积为1求证：12. 求证：（1）方程恰有一个实根，并且是无理数； （2）不是任何整数系数二次方程的根2014年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷答案2007年安徽省高中数学竞赛初赛试题一.选择题1.如果集合同时满足,就称有序集对为“好集对”。这里的有序集对意指当，是不同的集对，那么“好集对”一共有（）个。.设函数,为( )3.设是一个1203位的正整数,由从100到500的全体三位数按顺序排列而成那么A除以126的余数是( ) 4.在直角中, ,为斜边上的高,D为垂足. .设数列的通项为则( )5.在正整数构成的数列1.3.5.7删去所有和55互质的项之后,把余下的各项按从小到大的顺序排成一个新的数列,易见那么6.设则7.边长均为整数且成等差数列,周长为60的钝角三角形一共有_种.8.设,且为使得取实数值的最小正整数,则对应此的为 9.若正整数恰好有4个正约数,则称为奇异数,例如6,8,10都是奇异数.那么在27,42,69,111,125,137,343,899,3599,7999这10个数中奇异数有_个.10.平行六面体中,顶点出发的三条棱的长度分别为2,3,4,且两两夹角都为那么这个平行六面体的四条对角线的长度(按顺序)分别为_11.函数的迭代的函数定义为其中=2,3,4设,则方程组的解为_12.设平行四边形中，则平行四边形绕直线旋转所得的旋转体的体积为_三解答题13.已知椭圆和点直线两点(可以重合). 1)若为钝角或平角(为原点), 试确定的斜率的取值范围. 2)设关于长轴的对称点为,试判断三点是否共线,并说明理由. 3)问题2)中,若三点能否共线?请说明理由.14. 数列由下式确定: ,试求(注表示不大于的最大整数,即的整数部分.)15. 设给定的锐角的三边长满足其中为给定的正实数,试求的最大值,并求出当取此最大值时, 的取值.2008年安徽高中数学竞赛初赛试题一、选择题1.若函数的图象绕原点顺时针旋转后，与函数的图象重合，则（ ）（A）（B）（C）（D）2.平面中，到两条相交直线的距离之和为1的点的轨迹为（ ）（A）椭圆（B）双曲线的一部分（C）抛物线的一部分 （D）矩形3.下列4个数中与最接近的是（ ）（A）-2008 （B）-1（C）1（D）20084.四面体的6个二面角中至多可能有（ ）个钝角。（A）3（B）4（C）5（D）65.写成十进制循环小数的形式，其循环节的长度为( )(A)30 (B)40(C)50（D）606.设多项式，则中共有（ ）个是偶数。（A）127（B）1003（C）1005（D）1881二、填空题7.化简多项式