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,二次函数的综合应用,赣四中 谢训秀,检查反馈,1.已知抛物线过了(-1 , 0),(2 , -3),(1, -4 )三点,求此抛物线的解析式. 2.已知抛物线的顶点为(-1 , 2),且过了点(-2 ,0 ), 求此抛物线的解析式. 3.已知抛物线过了(-1 , 0),(3 , 0),(0, 1 )三点,求此抛物线的解析式.,知识回顾与训练,1.二次函数 的图象如图1所示,则,=,=,=,变式1:请你根据图2、图3中二次函数的图像, 写出以上式子的数量关系.,(一)图像与系数的关系,图1,图2,图3,变式2:若在图2中标上(1,0)、( 1,0)两点,你 还能说出和a、b、c相关的其他结论吗?,a + b + c 0,a b + c 0,,2a b 0.,(一)图像与系数的关系,知识回顾与训练,知识回顾与训练,图像与系数的关系,a决定抛物线的开口方向及开口大小. b和a共同决定抛物线的对称轴的位置. c决定抛物线与y轴的交点的位置,的符号看时x= -1 ,对应点的位置.,的符号决定抛物线与轴的交点个数.,的符号看x=1时,对应点的位置.,1.(2012湖南永州)由二次函数 ,可知( ) A其图象的开口向下 B其图象的对称轴为直线 x= 3 C其最小值为1 D当x 3时,y随x的增大而增大,C,(一)图像与系数的关系,知识回顾与训练,知识回顾与训练,(二)图像的性质增减性,2.已知抛物线 (a0)的对称轴为直线x=3,且经过A ,B ,试比较:,解题方法反思:对二次函数的增减性的把握就是以对称轴为分界线或顶点 横坐标为分界点,但要注意开口方向来判断增减性,利用数形结合思想尤 为重要.,(二)图像的性质增减性,知识回顾与训练,x=2,3.若(2,9)与(6,9)是抛物线 上两点,则抛物线的对称轴为直线_.,分析:抛物线是一个轴对称图形,其对称轴是过顶点且平行于y轴的一条直线,当图像上不同的两点的纵坐标相等时,两点一定关于对称轴对称.,解题方法反思:若A(a,b)与B(c,d)是抛物线上两个不同点且关于抛物线对称轴对称,即已知b=d,则此抛物线对称轴为直线 .,(三)图像的性质对称性,知识回顾与训练,(第3题变式)已知二次函数 中,其函数与自变量之间的部分对应值如下表所示:,点A 、B 在函数的图象上,则当 时, 与 的大小关系正确的是( ) A B C D,B,(三)图像的性质对称性,知识回顾与训练,4.已知抛物线 、 的解析式分别是关于y与x的关系式: . 对上述两个抛物线说法正确的有( )个;A.1 B.2 C.3 D.4 可以将其中一条抛物线经过向上或向下平移得到另一条抛物线; 可以将其中一条抛物线经过向左或向右平移得到另一条抛物线; 两条抛物线与y轴的交点一定不在x轴的上方; 两条抛物线的顶点之间的距离为1,分析:本题根据两个抛物线系数的特征,探讨两条抛物线的位置关系.解答时:要注意到两解析式中的“a、b”都相同,则两抛物线的开口大小、方向相同,对称轴也相同.怎样平移才能重合,一看就知道; 再因 , ,可以判断两条抛物线与y轴的交点位置.,(四)图像的性质图像的变换,C,知识回顾与训练,综合应用生活中的二次函数,能力拓展,综合应用呈抛物线形状实物的几何探究,解:如图建立平面直角坐标系,可设抛物线的解析式为y=ax2+bx+1 点(1,1.5)、(4,1)在抛物线上,得,x,0,y,(0,1),(4,1),(1,1.5),解得: ,所以抛物线解析式为,例1. 你知道吗?平时我们在跳绳时,绳甩到最高处的形状可近似的看为抛物线,如图所示,正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为4米,距地面均为1米,丙、丁同学分别站在距甲拿绳的手水平距离1米、2.5米处,绳子甩到最高处时,刚好通过他们的头顶,已知丙同学的身高是1.5米. (1)请你算一算丁同学的身高.,当x=2.5时,y=1.625.所以丁同学的身高为1.625米.,综合应用呈抛物线形状实物的几何探究,解:如图建立平面直角坐标系,可设抛物线的解析式为y=ax2+c 点(2,1)、 ( 1,1.5)在抛物线上,得,(2,1),(2,1),( 1,1.5),解得: ,所以抛物线解析式为,当x=0.5时,y=1.625.所以丁同学的身高为1.625米.,综合应用呈抛物线形状实物的几何探究,(2)如果身高为1.5米的丙同学站在甲、乙同学之间,且离甲同学的 距离为s米, 要使绳子甩到最高处时超过她的头顶,请结合图像,写出s 的取值范围.,1s3,解决这类问题 的一般步骤是: (1)恰当地建立平面直角坐标系; (2)将已知条件转化为点的坐标; (3)合理地设出所求的函数关系式; (4)代入已知条件或者点的坐标,求出解析式; (5)再利用关系式求解问题.特别要注意将距离或 者线段的长度转化为点的坐标时,要注意点所在 的象限. 2.涉及的数学思想方法: (1)构建二次函数模型的建模思想; (2)数形结合的思想. 3.注意一题多解.,综合应用利用二次函数的图像、性质解决实际问题,例2.某校七年级学生准备去购买英汉词典一书,此书的标价为20元,现A,B两书店都有此书出售,A店按如下方法促销:若只购1本则按标价销售,若一次性购买多于1本,但不多于20本时,每多购1本,每本售价在标价的基础上优惠2(例如买两本,每本价优惠2;买3本每本价优惠4,依此类推),若多于20本时,每本售价为12元;B书店一律按标价的7折销售 (1)试分别写出在两书店购此书总价yA、yB与购书本数x之间的函数关系式;,解:(1)设购买x本,则在A书店购书的总费用为,在B书店购书的总费用为yB=200.7x=14x;,(2)若某班一次性购买多于20本时,那么去哪家书店购买更合算,为什么?,若要一次性购买不多于20本时,先写出y(y= )与购书本数x之间的函数关 系式,画出其函数图象,再利用函数图象分析去哪家书店买更合算,三、本课小结,二次函数的综合性问题,都是以二次函数知识为主线 ,我们常把理论和实际联系在一起,仔细分析题意,搞清题中的数量关系,建立二次函数模型,同时还要注意在实际问题中自变量的取值范围.,本节课主要涉及的思想方法有: (1)建模的思想; (2)数形结合的思想; (3)分类讨论的思想.,课外练习,学案课外练习部分,谢谢您的指导,再见,
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