资源预览内容
第1页 / 共14页
第2页 / 共14页
第3页 / 共14页
第4页 / 共14页
第5页 / 共14页
第6页 / 共14页
第7页 / 共14页
第8页 / 共14页
第9页 / 共14页
第10页 / 共14页
亲,该文档总共14页,到这儿已超出免费预览范围,如果喜欢就下载吧!
资源描述
高考圆锥曲线定点定值技巧一、定点、定值、定形问题中的两种常用方法 1“特殊”探求例1已知直线过点且与抛物线交于、两点,求证:,均为定值,并求这个定值解:特殊位置的探讨:如图1,当过点的直线与垂直时,; 一般性的证明:如图2,当过点的直线与垂直时,设过点的直线方程为:【“基本特征式”的运算】 由 小结:定点、定值、定形问题的求解,先“特殊”探求,再证明一般的情况; “特殊”是指:特殊点、特殊位置、特殊直线、极端位置(空间图形的平面轨迹)、极限位置、特殊值、特殊图形(如:三棱锥正四面体)、初始值(如数列问题,首先用、求出满足条件的参数,再证明一般的情况); 华罗庚教授反复强调:“退,退,退到原始状态,退到最简单的位置”,即“特殊”探路; 直线与轴垂直,是很“容易遗忘”的失分参数有了“特殊”探路的解题意识,相反能提高警惕,提高得分能力; 相关结论:当直线过焦点时,;当直线过点时,;例2(09、辽宁)已知椭圆:是椭圆上的两个动点,点是椭圆上的一个定点如果直线的斜率互为相反数,证明直线的斜率为定值,并求出这个定值解:“特殊”探讨:取点(即右顶点)直线的方程:由一般性的证明:设过点的直线方程为:由 设方程的两根为、,则 分别用“”“”替换“”, ,所以直线的斜率=即直线的斜率为定值,其值为小结:取特殊点,求出定值,后续运算仅仅是一个填空程序;上述解题过程,运用了“对偶运算”,减少运算、减轻思维负担2“与参数无关”例3已知直线L与抛物线交于、两点,且求证:直线L经过定点,并求出这个定点的坐标解:直线轴,设其方程为又由直线L过定点当直线不垂直于轴时,设其方程为,由,又直线:当时,“与参数无关”直线过定点,或定点小结:“与参数无关”,是初一年级关于方程“”解状讨论的直接应用:;“与参数无关”,体现为“零”多项式理论,或“零次”多项式理论例4例10(07、湖南理21)已知双曲线的左、右焦点分别为,过点的动直线与双曲线相交于两点【直接法求轨迹】(1)若动点满足(其中为坐标原点),求点的轨迹方程;(2)在轴上是否存在定点,使为常数?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由解:(1)由条件知,设,设第一歩:“基本特征式”:设,直线:由(*1);第二歩:“向量特征式”:, 由(*2)第三歩:代入(整体):由(*1)与(*2);第四歩:消参:(1)(2),代入(1):所以点的轨迹方程是【(2)在轴上是否存在定点,使为常数?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由】解:假设在轴上存在定点,使为常数第一歩:先特殊探讨当与轴垂直时,点的坐标为,1常数;第二歩:再解决一般情况【以下是基本“特征式”的运算】当不与轴垂直时两设:设直线的方程是,方程组一元二次方程基本“特征式”由 ;运用基本“特征式”求解问题: 因为是与无关的常数,所以,即,此时1【与例1的注,用“与参数无关”的方法求定值】 综合:在轴上存在定点,使1 小结:定点、定值的题目中,若存在(大多数是“隐含”条件)“与参数无关”类的语句,求解方法是:第一歩,将表达式关于“参数”的多项式;第二歩,令含“参数”的项的系数为零,即得到求解结论; 其理论依据:若关于方程的解为,即“零”多项式理论;若关于方程的解为,即“零次”多项式理论;若关于的函数的值与无关函数是常数函数所有含项的系数0,即“零次”多项式理论; 一般地,这类题目的运算结果,总是含有两个参数:“无关参数”和“待求参数”而本题很特殊:含“无关参数”是关于“参数”分式,增加了问题的难度 例5(2011、武汉市第二次质检、三中供题) 已知点是椭圆上任意一点,直线的方程为(1)判断直线与椭圆E交点的个数;(2)直线过P点与直线垂直,点M(1,0)关于直线的对称点为N,直线PN恒过一定点G,求点G的坐标 解:(1)由0直线与椭圆只有一个交点(2)直线的方程为 设关于直线的对称点的坐标为直线的斜率直线的方程为:即直线恒过定点 小结:这道题是证明的圆锥曲线的光学性质,先猜想直线经过另一个焦点G(1,0),然后再给予证明; 本题虽然计算量很大,但有了猜想的导向,运算方向清晰,中间过程可以猜想性的表述 二、先局部,后整体,有序地运算:“由局部整体的重组”小学解应用题的方法“先列分歩式,再列综合式”,是数学解题的基本要求数学思维的有序性体现为解题的顺序性“先解决一个子问题,再解决一个子问题,当把所有的子问题完成,一个综合性的难题得到了解决”数学顺序非常重要,“设问语句干扰性”的题目,曾经使我们吃亏不小究其原因,是选择题设条件的顺序不当造成的“数学是模式与顺序的科学”,在处理复杂的问题时,更应遵守这条原则从功利性目标考虑,每一个子问题的解决,都是得分哇! 解析几何中的数学顺序,表现为“由局部整体的重组”,“整体消参”而“对称运算”与“对偶运算”是强力支撑例5(08、武汉模拟)过双曲线的右顶点,作两条斜率分别为、的直线、,交双曲线于、其中,且,求直线的斜率为定值,并求这个定值 解:【分析:题设条件是,提示了解题顺序先局部地分别求出、,然后重组为可以预定:一定能消除参数】设过右顶点(1,0)的直线方程:,由方程组: 由1(?)【注:用的是“对偶”运算】又,代入上式:,所以,【注:用的是“由局部整体的重组”下的“整体消参”】由对称性:轴,得直线的斜率.小结:本题是“对偶运算”的经典题目,反复“复制”运算结果,节约了大量的时间;在“对偶运算”的帮助下,“代点、代入”与“由局部整体的重组”有效合成为一体;本题可以先取4,1,4,求出直线的斜率后,再有目标地运算 三、“代点配凑、代入消参”的运算定式“代点配凑、代入消参”的运算定式是非常重要的运算“点差法”,本质上是这种定式的先期运用反之:“代点配凑、代入消参”的定式,是“点差法”运算的深化同时,“代点配凑、代入消参”的运算定式,也是“先局部,后整体,有序地运算”的深化复杂一点的问题,其题型特征是:曲线上有两个动点;于是很容易误导 “直线与曲线相交于两点”运算模式;一旦用上式,得到的是无效运算先看下面的一道“定值”形式的题,做完后再小结,期望得到解题定式例6(09、宣武)已知是椭圆:上两个不同的点,满足,求证:|是定值,并求这个定值解:设、 ()();代点:,配凑:()(); ()()1代入消参:|定值小结:“代点配凑、代入消参”的解题定式:代点:因为、在曲线上,;【,】配凑:按照求解目标,两式相加或相减,得到关于、的整体关系式;【()()】把上述关系式,整合为含有、 的式子,经过配凑得到一个新的关系式;【1】代入消元:把配凑得到的结果,代入求解目标,继续运算【】(是“点差法”运算的复制)小结:“代点配凑、代入消参”的解题定式,在求定点定值和轨迹方程时常常用到同时还要注意:用“特殊”探求处理定点、定值、定形问题,仅仅是一种方法,并不是所有的问题都必须采用,不要构成错误的“思维定势”;“代点配凑、代入消参”的解题定式是“点差法”运算的深化,所以求解时,可以按照“点差法”的模式,“先局部,后整体,有序地运算”;“代点配凑、代入消参”的解题定式,仅仅是比“点差法”的运算多了一个“消参”环节,从而得到常数;【注:还有另外一种形式上的“代点配凑、代入消参”】例7(09、全国1)过定点作直线与椭圆:相交于不同的两点,点在线段上,且求证:点总在定直线上证明:记,则,且由四点共线,设点,代点:,;配凑:,;代入消参:()()(1)1,所以:点Q的轨迹方程为:1小结:把线段的比,转化为向量关系然后直接采用“定式”运算这里没有使用“基本特征式”参与运算;根据求解目标:“”, 代入、配凑、消元,一气呵成 四、“代点配凑、代入消参”与求轨迹方程 高考试卷中的解析几何题,是干扰学生得高分的“瓶颈”两种情况:无法取得适当的运算途径,往往是只做第一问,得到45分,心安理得;期望突破第二问,但运算途径不合理,越算越复杂,耽误时间,耗时耗精力运气好,得到23分1“代入法”求轨迹方程、曲线过定点中的“整体消元”例8(09、江西)已知点为双曲线上任一点,F2为双曲线的右焦点过作右准线的垂线,垂足为连接并延长交y轴于 (1) 求线段的中点的轨迹的方程;(2) 设轨迹与轴交于两点,在上任取一点,直线、分别交轴于两点求证:以为直径的圆过两定点解:(1)【分析:点的运动,是因为已知曲线上的已知运点生成的,标准的“相关点法”求轨迹问题】由已知得则直线的方程为:,令得,即由是的中点代入为轨迹E的方程(2) 【设轨迹与轴交于两点,在上任取一点,直线、分别交轴于两点求证:以为直径的圆过两定点】解:在中令得设,直线的方程为:,直线的方程为:),N(0,)以为直径的圆的方程为:)(【注:圆的直径式】令【注:为什么想到?】而在上为直径的圆过两定点(5b,0)、(5b,0)【注:“代入消参”】 小结:(1)“相关点法”(也叫“代入法”)求轨迹(注:求轨迹方程与求轨迹的关联与递进关系)的条件特征:两个已知:已知的动点在已知的曲线上运动;“真动点”在已知的动点的“带动”、“帮助”下运动 (2)“相关点法”求轨迹的始终如一地“围绕求出”,然后整体代入消除参数; (3)第二问“求证:为直径的圆过定点”的难点: “以为直径的圆的方程:)(” 求出后,为什么“令”?【“整体代入消元”的思维定式】; 在得到“以为直径的圆”与的交点的横坐标“”后,为什么会想到“而在上”的运算歩骤?【“整体代入消元”的思维定式】 2“参数法”求轨迹方程中的“整体消元”例9(08、山东文22)已知曲线:所围成的封闭图形的面积为4,曲线的内切圆半径为,记为以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆(1)求椭圆的标准方程【几何量】;(2)设AB是过椭圆中心的任意弦,L是线段AB的垂直平分线,M是L上异于椭圆中心的点若|MO|OA|(O为坐标原点),当点A在椭圆上运动时,求点M的轨迹方程;【代点法、k参数】若M是L与椭圆的交点,求AMB的面积的最小值解:(1)由题意得椭圆方程:1(2)若AB所在的斜率存在且不为零,设AB所在直线方程为ykx(k0),A()由设M(x,y),由|MO|OA|(
网站客服QQ:2055934822
金锄头文库版权所有
经营许可证:蜀ICP备13022795号 | 川公网安备 51140202000112号