江苏省常州高级中学2013年高考数学模拟试卷命题：江苏省常州高级中学 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1 已知数集中有3个元素，则实数不能取的值构成的集合为 2 已知x是实数，是纯虚数，则x的值是 3 已知函数在处的导数为，则实数的值是 4 根据国家质量监督检验检疫局发布的车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验血液酒精含量（单位：mg/100ml）02020404060608080100人数18011522(GB195222004)中规定车辆驾驶人员血液酒精含量：“饮酒驾车非醉酒驾车”的临界值为20mg/100ml；“醉酒驾车”的临界值为80mg/100ml某地区交通执法部门统计了5月份的执法记录数据：根据此数据，可估计该地区5月份“饮酒驾车” 发生的频率等于 5 若不等式对于一切正数恒成立，则实数的最小值为 6在平面直角坐标系xOy中，“直线，与曲线相切”的充要条件 是“ ”开始结束（第7题）7 如图，表示第i个学生的学号，表示第i个学生的成绩，已知学号在110的学生的成绩依次为401、392、385、359、372、327、354、361、345、337，则打印出的第5组数据是 8 在ABC中，若，则 9已知ABC中，AB边上的高与AB边的长相等，则 的最大值为 10设正四棱锥的侧棱长为1，则其体积的最大值为 11已知平面向量，满足，的夹角等于，且，则的取值范围是 12在平面直角坐标系xOy中，过点、分别作x轴的垂线与抛物线分别交于点，直线与 x轴交于点，这样就称确定了同样，可由确定，若，则 13定义：x，y为实数x，y中较小的数已知，其中a，b 均为正实数，则h的最大值是 14在平面直角坐标系xOy中，直角三角形ABC的三个顶点都在椭圆上， 其中为直角顶点若该三角形的面积的最大值为，则实数的值为 二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15已知ABC内接于单位圆（半径为1个单位长度的圆），且（1）求角的大小； （2）求ABC面积的最大值16如图，在四面体ABCD中，点E是BC（第16题图）EABCDF的中点，点F在线段AC上，且（1）若EF平面ABD，求实数的值； （2）求证：平面BCD平面AED 17（图甲）（图乙）如图甲，一个正方体魔方由27个单位（长度为1个单位长度）小立方体组成，把魔方中间的一层转动，如图乙，设的对边长为（1）试用表示；（2）求魔方增加的表面积的最大值 18.如图，在平面直角坐标系中椭圆的右焦点为，右准线为（1）过点作直线交椭圆于点，又直线交于点,若，求线段的长；（2）已知点的坐标为，直线交直线于点，且和椭圆的一个交点为点，是否存在实数，使得，若存在，求出实数；若不存在，请说明理由19已知函数,其中为常数,且函数和的图像在其与坐标轴的交点处的切线互相平行(1)求此平行线间的距离；(2)若存在使不等式成立，求实数的取值范围； (3)对于函数和公共定义域中的任意实数，我们把的值称为两函数在处的偏差.求证:函数和在其公共定义域内的所有偏差都大于2.资.源.网20已知数列满足，(1)求数列的通项公式；(2)若对每一个正整数，若将按从小到大的顺序排列后,此三项均能构成等差数列, 且公差为.求的值及对应的数列记为数列的前项和，问是否存在,使得对任意正整数恒成立?若存在,求出的最大值；若不存在,请说明理由试题（附加题）21【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤（第21A题）A（几何证明选讲）如图，已知切圆于点，交圆于，两点，点是的中点求证： B（矩阵与变换）将曲线：绕坐标原点逆时针旋转后，得到的曲线,求曲线的方程 C（极坐标与参数方程）在平面直角坐标系xOy中，求直线（t为参数）被圆（为参数）截得的弦长D（不等式选讲）已知x，y，z均为正数求证：【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22考察二数，满足不等式于是一个自然的推广引导我们去猜想下面的命题：若且试用数学归纳法证明上述命题 23某养鸡场流行一种传染病，鸡的感染率为10现对50只鸡进行抽血化验，以期查出所有病鸡设计了如下方案：按n（且n是50的约数）只鸡一组平均分组，并把同组的n只鸡抽到的血混合在一起化验，若发现有问题，即对该组的n只鸡逐只化验记为某一组中病鸡的只数（1）若n，求随机变量的概率分布和数学期望；（2）为了减少化验次数的期望值，试确定n的大小参考答案1. ； 2. 1 ； 3. 2； 4. 0.09； 5. ； 6. ； 7. ； 8. ；9. ； 10. ；11. ； 12. ； 13. ；14. 3答案解析10. 法1 设正四棱锥的底面边长为，则体积，记，利用导数可求得当时，此时；（第11题图）法2 设正四棱锥的侧棱与底面所成角为，则， ，记，利用导数可求得当时，此时；11. 如图，设ABC中，由余弦定理得，由知，点的轨迹是以为直径的圆，且，故；12. 设、，则割线的方程为：， 令得，即，不难得到；13. 易得，所以（当且仅当时取等号）；14. 设AB的方程为：，则AC的方程为：，由得 ，解得用“”替换“”得 故 所以， 令，则（当且仅当时等号成立），由得解得或（舍去），所以15命题立意：本题主要考查两角和与差的正切公式与正、余弦定理等基础知识，考查运算求解 能力（1）由得， 所以，（4分） 故ABC 中，（6分）（2）由正弦定理得，即，（8分） 由余弦定理得，即，（10分） 由得，（当且仅当时取等号）（12分） 所以.（14分）16命题立意：本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象与推理论证能力解：（1）因为EF平面ABD，（第16题图）EABCDF易得平面ABC， 平面ABC平面ABD， 所以，（5分） 又点E是BC的中点，点F在线段AC上， 所以点F为AC的中点， 由得；（7分） （2）因为，点E是BC的中点， 所以，（9分） 又，平面AED， 所以平面AED，（12分） 而平面BCD， 所以平面BCD平面AED（14分）17命题立意：本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力，考查运算求解能力 解：（1）由题意得， 解得，（6分） （2）魔方增加的表面积为， 由（1）得，（10分） 令， 则（当且仅当即时等号成立）， 答：当时，魔方增加的表面积最大为（15分）18.解：（1）由题意可知，故将代入，可得，从而 6分（2）假设存在实数满足题意由已知得 椭圆C： 由解得，由解得， 12分，故可得满足题意 16分19（本题满分16分）解：（），的图像与坐标轴的交点为，的图像与坐标轴的交点为，由题意得，即又，。，函数和的图像在其坐标轴的交点处的切线方程分别为：,两平行切线间的距离为。（）由得，故在有解，令，则。当时，；当时，故即在区间上单调递减，故，即实数m的取值范围为。（）解法一：函数和的偏差为：，设为的解，则当，；当，在单调递减，在单调递增，故即函数和在其公共定义域内的所有偏差都大于2。解法二：由于函数和的偏差：，令，；令，在单调递增，在单调递减，在单调递增，即函数和在其其公共定义域内的所有偏差都大于220（本题满分16分）解:()因为,所以时, ,两式相减,得,故数列从第二项起是公比为的等比数列3分又当n=1时,解得,从而5分(2)由(1)得,1若为等差中项,则,即或,解得6分此时,所以8分2若为等差中项,则,即,此时无解9分3若为等差中项,则,即或,解得,此时,所以11分综上所述, 或,12分1当时,则由,得,当时, ,所以必定有,所以不存在这样的最大正整数14分2当时,则由,得,因为,所以满足恒成立；但当时,存在,使得即,所以此时满足题意的最大正整数16分21A命题立意：本题主要考查圆的有关知识，考查推理论证能力解：连结， 由切圆于点，是的中点得，（5分） 故四点共圆，（8分） 则（10分） B命题立意：本题主要考查矩阵的变换，考查运算求解能力解：设上的任意点在变换矩阵M作用下为，则，（5分）即（8分）代入得（10分） C命题立意：本题主要考查参数方程，考查运算求解能力解：将直线与圆的参数方程化为普通方程得与，（6分） 则圆心到直线的距离为，（8分） 所以直线被圆截得的弦长为（10分）D命题立意：本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证能力证明：因为x，y，z均为正数，所以，（4分） 同理得（当且仅当xyz时，以上三式等号都成立），（6分） 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得（10分） 22命题立意：本题主