全国第三届研究生数学建模竞赛题 目 维修线性流量阀时的内筒设计问题（C题）针对问题1，首先考察了内孔为四种特殊形状的情况下，“过流面积”随曲线下降距离的变化情况，得到凸凹圆曲线与严格线性面积特性曲线偏差的平方和最小，线性关系保持得比较良好。此后利用微元法证明了“过流面积”呈严格线性变化时曲线和外孔圆交点横坐标的差为定值这一性质，得出了在此种情况下曲线在两交点处的斜率应为无穷大。基于以上分析，利用最小二乘原理建立了无约束泛函极值模型，采用了变分法将其转化为微分方程，再转化为等效的变分原理，采用Ritz算法近似求解。最后通过对内筒孔曲线的合理假设，得到了满足线性关系较好的内孔曲线形状（见图11），其样本点的偏差平方和为0.064412。针对问题2，利用最小二乘原理建立了有约束泛函极值模型。根据文中第四节中的引理，给出理想状态下的内孔形状。之后对其进行了微调，通过牺牲严格的线性关系来使其逐渐满足两个约束和，并最终找到了合适的内孔设计方案（见图13（b）。最后针对外孔磨损情况提出了基于自动控制理论和逆向工程技术等的解决办法。本文提出的模型是从考察内孔的特殊形状中得到启发的，从而具有实际应用价值和准确性。关键词：线性阀体 最小二乘法 泛函极值模型 变分原理 非线性规划 24一、问题的提出阀体是我们日常工作和生活中一种十分常见的工具。它种类繁多，其中线性阀体可使阀体的旋转角度和流量成正比。因而它可使人们方便地对流量进行控制。而如何设计线性阀体成为当今控制领域中研究的热点问题之一。现在我们需要设计出一种阀体，它由两个同心圆柱筒组成。外筒固定，其侧面上有一个孔，形状为两个直径不等的圆柱体的交线。内筒和外筒轴向之间没有相对运动，内筒可以自由转动。内筒的侧面上也有一个孔，但它原来的形状未知。要求设计出内筒孔的形状，使得“过流面积”与内筒旋转角成近似线性关系；在线性区间至少达“最大范围”区间长度的75%以上，而且主要工作区的最大“过流面积”至少要达到外筒孔面积的85%以上，并且使“过流面积”和内筒的旋转角度之间的“线性关系”尽量好的约束限制下，重新设计内筒孔的形状。并且还要考虑当外筒孔发生磨损时要采取的应对措施。二、模型假设1、阀体的旋转角度与内圆筒相对移动距离成正比，圆筒移动距离与“过流面积”成正比。2线性阀体内外筒为薄壁筒，不考虑其壁厚给设计带来的影响。3、外圆筒直径与外圆孔直径相差很大，展开后外圆孔面积变化足够小，可近似视为圆形。4、内筒在转动过程中，只存在周向水平运动，不存在垂直方向的运动。5、假设内圆孔设计曲线与外圆孔曲线最多只有两个交点，可以有一段相切，且曲线连续。6、为简化计算，假设外圆孔半径为一个单位长度。三、变量设定：圆的半径，在本文中为一个单位长度1；：待求内孔的曲线方程；：内孔下边沿曲线方程；：外圆孔上半圆方程，即圆的方程；：曲线下降的距离微元；：曲线下降到某一位置时其与初始位置的距离；：曲线从初始位置下降至“过流面积”达到最大值时的距离；、：分别表示曲线F(x)在移动过程中与曲线G(x)的交点；，：分别表示点、的坐标值；：曲线下降的距离与“过流面积”之间的线性比例；：曲线下降时“过流面积”的增加量；：“过流面积”的理想值，。四、问题的分析本文将内外两个圆柱筒展开为平面，得到两个长方形，于是将三维空间中物体的转动问题化简为二维平面上内孔与外孔相对移动的问题来求解，此外根据问题假设可将外筒孔近似视为圆孔。建立如图1所示直角坐标系，用以坐标原点为圆心的单位圆来表示外圆孔，X轴与内、外筒的轴心平行。用任意曲线表示内圆孔曲线初始位置时的一部分，另一部分与其组成封闭图形，但是未画出的部分与圆不相交，如图1（a）所示。 （a） （b）图1 曲线与圆相交求微元面积示意图引理：若要使内孔旋转角度（称为开度）与“过流面积”满足线性关系（这种关系称为面积特性曲线），则内孔曲线必满足其与外孔圆的交点横坐标之差衡为常数，即，其中分别为内孔曲线与外孔圆的交点横坐标。或者可以说即为面积特性曲线保持线性的必要条件。证明：假设某一时刻内孔曲线向下移动与圆相交，其方程为，当曲线向下移动微元时，“过流面积”的增加量由三部分组成，两边近似三角形面积和中间矩形面积（如图1（b）所示），并可用以下积分表示： （1）若要使内孔旋转角度（称为开度）与“过流面积”满足线性关系（这种关系式称为面积特性曲线），则只须使曲线的向下移动距离与“过流面积”满足线性关系即可，即微元面积也与有线性关系： （2）曲线与圆的交点坐标x由方程（表示下降时的曲线）求得：， （3）， （4）整理方程（1）至（4）得： （5）其中表示利用（3）、（4）式算出的关于自变量的表达式，将（5）式整理可得： （6）两边同时取微分，并用代替，整理可得：在满足条件下，根据方程（3）、（4）得： （7）即：（7）式的含义为：如果“过流面积”线性增加，则内孔曲线必满足其与外孔圆的交点横坐标之差为常数。即在向下移动过程中，其与圆的交点横坐标之差为常数。到此引理证明完毕。以下在面积特性曲线呈严格线性关系时，对曲线的形状进行讨论。沿坐标系轴的负方向移动，根据在与外孔圆交点处的斜率分两种情况讨论：1. 如果斜率的符号相反，则下一时刻新产生交点的横坐标必然一个增大一个减小，那么它们的差值改变，因而不满严格足线性关系；2. 如果斜率的符号相同，在曲线下移过程中两交点横坐标在某一时间段内的增减情况是一致的，但是当的某一交点先和外孔圆与X轴的交点重合后，该分支与外孔圆交点的横坐标的增减情况将改变，而另一交点横坐标的增减情况保持不变，此时差值改变，同样也不满足严格线性关系。由以上分析我们得出结论：只有在曲线在同外孔圆两交点处的斜率都是无穷大的情况下，两交点的横坐标的差才是恒定的，此时，曲线下移距离与“过流面积”呈严格线性关系，见图2。图2 满足理想线性关系的内孔形状由上图可见该曲线从开始下降到A点时，完全满足面积特性曲线呈线性关系，但是在A点以下就出现了非线性，且不满足题目中“最大范围”为外筒孔面积的要求，因此不可能存在严格线性关系的面积特性曲线，即不能通过选择内筒孔形状实现“过流面积”与内筒旋转角度呈严格的线性关系。但此曲线证明了只要曲线与圆相交两点的横坐标之差为常数，那么面积特性曲线一定是线性的。当曲线与圆相交面积最大时即为外圆的面积，又因为面积与下降距离成线性比例，故五、基于问题1的模型建立1.模型探索在二维坐标系内，假设内孔曲线沿Y轴负方向移动。为了探索最佳内孔曲线形状，本文首先考虑四种特殊的内孔：矩形孔，凸圆孔，凹圆孔和凸凹圆孔，分别见图3，图4，图5及图6。图4 凸圆孔图3 矩形孔图5 凹圆孔 图6 凸凹圆孔以下利用方差分析评价四种不同形状内孔的控制效果。根据最小二乘原则可得：面积特性曲线与严格面积特性曲线偏差的平方和越小，则其控制效果越好。(1)矩形内孔：矩形是最为简单的情况，它在移动过程中与外圆孔所围面积可表示为：在曲线上均匀选取200个样本点，利用最小二乘法求得其与理想面积曲线偏差的平方和为3.4190。(2)凸圆孔：凸圆与外圆孔所围面积可表示为：。由两圆方程可得方程组，求解得到上式的积分区间为。选取样本点后利用最小二乘法求得其与理想面积曲线偏差的平方和为13.6761。(3)凹圆孔：我们设开始时凹圆和外圆孔是相切的，其方程为，下降后凹圆与外圆孔相交的边界曲线方程为，而外筒孔下半圆曲线方程为。因而，凹圆与外圆孔所围面积为。由可得到上式的积分区间为。选取样本点后利用最小二乘法求得其与理想面积特性曲线偏差的平方和为13.6761。(4)凹凸圆孔：凹凸圆与外圆孔所围面积分为Y轴左边凸圆与外圆孔所围面积和Y轴右边凹圆与外圆孔所围面积之和。我们分别计算两部分面积，左边凸圆与外圆孔所围面积为：，我们由得出上式中的。右边凹圆与外圆孔所围面积为：，由得出上式中。选取样本点后利用最小二乘法求得所对应的曲线与理想面积特性曲线偏差的平方和为0.4750。以上四种内孔形状控制的面积特性曲线于严格的线性面积特性曲线如图7所示。通过对上述几种特殊形状内孔面积特性曲线的分析可知，凸凹圆作为内孔的形状对砂浆流量的控制效果比较理想，然而与实际精度要求还相差甚远。2.建立泛函极值模型结合以上对问题的分析和模型的初探，发现选取极特殊的内孔形状无法得到较理想的面积特性曲线，为了更精确地逼近线性面积特性曲线，本文引入了最小二乘法的思想，通过残差的平方和是否达到最小，来判断面积特性曲线是否最优。图7 5种面积特性曲线的比较为了使“过流面积”最大，内孔曲线形状的上半部分须全部与外孔上半圆相交（见图中阴影部分重合），因而假设内孔曲线形状上半部分为半圆，而其余部分的形状未定，为了简化计算，可以假定内孔曲线形状的右半部分为直线，进一步可以假定是一条竖直线，根据以上分析内孔曲线形状大致可取如图8中的粗实线形状，这样只需确定图中的曲线形状即可。图8 内外孔曲线示意图定义：对某一类函数中的每一个函数有一个的值与之对应，那么变量称为依赖于函数的泛函，记作：图9 凸凹圆孔面积特性曲线不同的内孔曲线形状影响了面积特性曲线的取值，因而是依赖于并与变量有关的泛函，记作：根据式（1）得本文的泛函极值数学模型为：目的是求，使得此泛函极值模型取得极小值。由图所示可得边值条件为：3.模型求解采用变分法求解泛函极值条件下未知场函数的形式，由泛函极值的必要条件欧拉方程，可将泛函极值模型转化为未知场函数满足的微分方程问题。考虑到求解的复杂性，在求得欧拉方程之后，本文不将其转化为欧拉方程形式，而变成微分方程仍将会建立与之相等效的变分原理，进而再求得基于它的近似解，这里采用Ritz算法。选取满足以下边界条件的一项多项式近似解则有 由于过流面积”一般形式的表达式复杂，故泛函求极值困难，本文将转而利用已知条件及引理，合理地假设内孔曲线的形式，通过求解假设曲线中的参数，把问题简化为求解一个有约束的非线性优化泛函极值问题。4.曲线假设及求解本文以关于点)对称为原则选取形式。这主要是考虑到如果关于中心对称，那么曲线下降后仍关于中心对称。 图10 中心对称示意图如图所示，下降曲线与上半圆相交部分面积为：而对称的下降曲线与下半圆相交部分的面积为： 且曲线和距原点的距离均为，故积分结果相等。假如移入时相交面积为线性，则移出时相交面积仍为线性。根据以上假设，本文选择的曲线方程是中心对称的，且在开始时候与圆相切一段，曲线下移后与圆方程相交为两个交点。曲线方程为：接下来求解，使其满足上述泛函极值模型。曲线与圆只有两个交点，把曲线与圆围成的面积分成三段进行积分。通过设定的变化步长及范围，求得使得总体残差的平方和达到最小的，由上公式可得到，则上四分之一圆的曲线方程为：相交面积由三部分组成，分段求和：将含参积分以上各式带入泛函极值模型 ，对各参数项再求偏导，令其