函数的极限(2),一 复习引入，提出问题,回忆当x、x、x时的函数极限是如何定义的我们可否用类似的思想和方法研究xx0时的函数极限,定义1: 一般地,当自变量x取正值并无限增大时,函数f(x)的值无限趋近于一个常数a,就说当x趋向于正无穷大时,函数f(x)的极限是a.,记作：,记作：,定义(2): 一般地,当自变量x取负值并且绝对值无限增大时,函数f(x)的值无限趋近于一个常数a,就说当x趋向于负无穷大时,函数f(x)的极限是a,那么就说 当x趋向于无穷大时,函数f(x)的极限是a,记作:,如果,且,定义(3),对于常数函数f(x)=c(xR), 也有,1考察函数y=x2，当x无限趋近于2时，函数的变化趋势,(1)图象,二 考察函数，比较特征,(2)列表,从表格上看： 表1说明，自变量x2趋近于2(x2-)时，y4,表2说明，自变量x2趋近于2(x2+)时，y4,从图象上看：自变量x从左侧趋近于2(即x2-)和从右侧趋近于2(即x2+)时，y都趋近于4,从差式|y4|看：差式的值变得任意小(无限接近于0),从任何一方面看，当x无限趋近于2时，函数yx2的 极限是4记作：,强调：x2，包括分别从左、右两侧趋近于2,即: “x2”是指以任何方式无限趋近于2，(分别从左、右两侧或左、右两侧交替地无限趋近于2),2. 考察函数 （x1），当x无限趋近于1（但不等于1）时，函数的变化趋势,（1）图象 y=x+1 (xR,x1),(2)结论：自变量x从x轴上点x=1的左右两边无限趋近于1，函数 的值无限趋近于2.,强调：虽然在x1处没有定义，但仍有极限,3考察函数 ，当x无限趋近于0 时，函数的变化趋势？,(2) 结论： x从0的左边无限趋近于0时，y值无限趋近于-1 x从0的右边无限趋近于0时，y值无限趋近于1,(1)图象,此例与上两例不同，x从原点某一侧无限趋近于0，f(x)也会无限趋近于一个确定的常数但从不同一侧趋近于0，f(x)趋近的值不同，这时f(x)在x0处无极限,(1)请思考下面问题：当xx0时，yf(x)在xx0处有定义，是不是一定有极限？yf(x)在xx0处无定义，是不是一定没有极限？,xx0包括两层意思：x从x0的左侧趋近于x0，即xx0-；x从x0的右侧趋近于x0，即xx0+是不是xx0-和xx0+时，f(x)会趋近于同一个常数？,(2) 归纳结果，得到：,三 整理提炼，明确概念,函数在一点处的极限与左、右极限的定义,函数在一点处的极限与左、右极限,1当自变量x无限趋近于常数x0（但x不等于x0）时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋近于x0时，函数f(x)的极限是a，记作 或当xx0时f(x)a。,2当x从点x0左侧（即xx0）无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说a是函数f(x)在点x0处的左极限，记作 。,3如果当x从点x0右侧（即xx0）无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数a，就说a是函数f(x)在点x0处的右极限，记作 。,4常数函数f(x)=c在点x=x0处的极限有 .,x无限趋近于常数x0，是指x从x0的左、右两侧无限地趋近于x0。,注意： （1） 中x无限趋近于x0，但不包含x=x0即xx0，所以函数f(x)的极限是a仅与函数f(x)在点x0附近的函数值的变化有关，而与函数f(x)在点x0的值无关（x0可以不属于f(x)的定义域）,（2） 是x从x0的两侧无限趋近于x0,是双侧极限， 而 、 都是x从x0的单侧无限趋近于x0,是单侧极限， 显然,例1 当x 时，写出下列函数的极限 y=x2 y=sinx y=x y=5,四 例析概念,深化理解,设C为常数，则,例2 写出下列函数当x0时的左右极限，哪些有极限？ ,(1)函数f(x)在x=x0处的极限，左、右极限，极限与左右极限的关系，学会求一些简单函数的左右极限及极限。,五 比较概念，归纳小结,(2)我们已学过哪7种不同类型的极限？它们的共同之处是什么？用数学符号来表达各有什么不同？,六 课后探究,1.已知 ,求,2.已知函数 ,试求 (1)f(x)的定义域; (2)求 , ,并指出 是否存 在.,