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中南大学2002-2011年研究生考试数学分析试题2002年一、求下列极限(1);(2);(3)。二、(共16分,每小题8分)设函数,(1)证明连续;(2)是否一致连续?(请说明理由)。三、(共16分,每小题8分)(1)设,求阶全微分;(2)设,变换以下方程。四、(共20分,每小题10分)(1)求积分;(2)求曲面 ,和所围成的体积。五、(共12分,每小题6分)设,(1)求的条件收敛域;(2)求的绝对收敛域。六、证明:积分 是参数的连续函数。七、(8分)设定义于上的函数存在三阶的导函数,且,证明:。2003年一、(共27分,每小题9分)求下列极限(1);(2);(3)设在上可积,且,求。二、(共24分,每小题12分)设函数在上连续,(1)证明:若存在,则在上一致连续;(2)上述逆命题是否成立?(请给出证明或举出反例)。三、(共27分,每小题9分)设(1)求偏导数和;(2)讨论函数和在原点的连续性;(3)讨论在原点的可微性。四、(共30分,每小题15分)(1)求在处的幂级数展开式及其收敛半径;(2)计算三重积分,其中是由曲面与平面所围的区域。五、(12分)计算下列曲面积分,其中,积分是沿曲面的外侧。六、(共15分,每题5分)设 (1) 求关于的收敛性;(2)在上述收敛域中是否一致收敛?(3)讨论的条件收敛性和绝对收敛性。七、(共8分,每题4分)设,发散,记,证明:(1)发散; (2)收敛。八、(8分)设定义于的实值函数在右连续,且对任何实数,都满足 证明: (为常数)2004年1证明:若数列收敛,则它有且只有一个极限。 (20分)2证明下列结论:(a); (10分)(b)序列收敛。 (20分)3设在上连续,且,证明:在上,恒有。(20分)4在区间和上,分别讨论级数的一致收敛性。 (20分)5考察函数在原点处的可微性。 (20分)6设是闭区间上的连续函数,且在开区间内没有极值点,则是的严格单调函数。 (20分)7设和满足及 又设可微,非增,则 (20分)2005年一、(共30分,每小题10分)(1)求极限(2)求极限(3)设证明其中, 二、(共20分,每小题10分)分别讨论函数在下列区间中是否一致连续:(1),这里为随便多大的正数;(2)在区间上。三、(20分)证明下列拉格朗日定理并叙述其几何意义:“若函数在上连续,在上可导;则在内至少存在一点,使。”四、(20分)求半径为的球内嵌入有最大体积的圆柱体的体积。五、(共36分,每小题12分)(1)求积分;(2)求第一类曲面积分其中为体积的边界;(3)分别研究函数项级数在下列区间上的一致收敛性:(a)在上,其中(b)在上。六、(12分)设是上的非负可积函数序列,且存在。若,有;证明对任何一个上的连续函数都有。七、(12分)设,都是周期函数,且;证明。2006年一、 判断题:(每题5分,共25分)(1) 若级数收敛,则 ();(2) 收敛的数列一定有界. ();(3) 开区间内可导的函数一定在闭区间上连续. ();(4) 若函数在点附近具有二阶连续导数,且,则在处达到极小值. ();(5) 若函数在上有定义且是连续的,而且极限存在且有限,则在此区间上一致连续. ().二、 求下面数列的极限值:(每小题10分,共30分)(1)其中为常数;(2);(3)三、 求下列函数的极值:(每小题10分,共20分)(1);(2)四、 (20分)设收敛,收敛,试证明级数收敛.五、 (15分)若非负函数在上连续,且则六、 (20分)设在上连续,证明其中七、(20分)若函数(1)在区间上有二阶导函数,(2)则在区间内至少存在一点使得2007年一、 判断题:(正确的打,错误的打,每题5分,共25分)(1) 任何定义在上的函数都可以表示成一个偶函数和一个奇函数之和。 ()(2) 设连续且,则 ()(3) 若序列收敛,则和必有一序列收敛。 ()(4) 若对任意,函数在上连续,则在内连续。 ()(5) 若函数在内连续且有极大值点,则。 ()二、 求下列极限值:(每小题10分,共20分)(1);(2)其中三、 (20分)求曲线在点处的切线方程和法线方程。四、 (15分)试证明时五、 (20分)试求六、 (25分)设为的连续函数,证明七、 (25分)设函数在上可导且非常数函数,试证明,在中至少存在一点,使得2008年一、判断题(5分,共25分)(1) 若函数在闭区间上一致连续,则在开区间内可导(2) 设在闭区间上连续,在内每一点存在有限的左导数,且,则至少存在一点使得在处的左导数等于0(3) 若序列和序列都收敛,则序列和序列必收敛(4) 若函数是在区间上的连续递增函数,则在内可导且(5) 若序列收敛,则它一定有界一、 计算题(10分,共20分)(1)求级数(2)求积分三、(20分)在什么条件下三次抛物线与轴相切?并求出其切点四、(15分)设函数在区间内有有界的导函数,证明在内一致连续五、(20分)若在区间内可导,且,证明六、(25分)设:(i)在闭区间上有二阶连续导数;(ii)在区间内有三阶导函数;(iii)且下面等式成立:及证明在内存在一点使得七、(25分)设0且,定义函数证明(i)是内的下凸函数(ii)在内有根的充要条件是02009年一、 计算题(10分,共60分)1、 计算极限2、 已知,求3、 已知条件收敛,计算极限4、 求空间曲线在处的法平面方程5、 计算曲面被柱面所截下那一部分的面积6、 计算,其中是曲面上的部分,并取外侧二、(20分)证明在上一致连续,但不一致连续三、(15分)已知在处取得极小值。假设在邻域内有连续的二阶偏导数,证明四、(20分)求幂级数的收敛域;如果其和函数是,证明:时恒有五、(25分)设在内是可微函数,令如果,求六、设,证明函数列在上一致收敛 2010年1. 计算题(每小题10分,共60分)1. 计算极限 2. 设f(x)具有二阶导数,在x=0的某个去心邻域内f(x)0,且 求 3. 求曲面 上平行于平面 的切平面方程,并求切点处的法线方程.4. 设 当 时,求 .5. 计算曲面积分 , 其中S为球面 .6. 计算 其中是边长为a的正立方体的表面,并取外侧. 2. 设 在上连续,且 证明 (20分).3. 设是由所围成的闭区域,求函数 在 上的最小值和最大值 (20分).4. 已知二阶可导且,试证对任意给定的三个正数 有 ,并由此证明 (20分) .五. 1.试给出函数序列在区间x上一致收敛于的定义;(5分) 2.设函数在 上可积,且 证明 在 上一致收敛于0. (10分)6. 已知 ,求 (15分)随着医学模式的转变,护理逐步确立了“以病人为中心”整体护理的理想观念,强调了人的“生理心理社会”的整体性,注重患者适应环境的能力,应用心理学知识与患者沟通交流,建立良好的护患关系,主动满足患者的心理需求
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