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勾股定理典型例题分析一、知识要点:1、勾股定理勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说:如果直角三角形的两直角边为a、b,斜边为c ,那么 a2 + b2= c2。公式的变形:a2 = c2- b2, b2= c2-a2 。2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三边长分别是a,b,c,且满足a2 + b2= c2,那么三角形ABC 是直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时,同学们要注意处理好如下几个要点: 已知的条件:某三角形的三条边的长度.满足的条件:最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.得到的结论:这个三角形是直角三角形,并且最大边的对角是直角.如果不满足条件,就说明这个三角形不是直角三角形。3、勾股数满足a2 + b2= c2的三个正整数,称为勾股数。注意:勾股数必须是正整数,不能是分数或小数。一组勾股数扩大相同的正整数倍后,仍是勾股数。常见勾股数有:(3,4,5)(5,12,13) (6,8,10)(7,24,25)(8,15,17)(9,12,15)4、 最短距离问题:主要5、 运用的依据是两点之间线段最短。 二、考点剖析考点一:利用勾股定理求面积1、求阴影部分面积:(1)阴影部分是正方形;(2)阴影部分是长方形;(3)阴影部分是半圆2. 如图,以RtABC的三边为直径分别向外作三个半圆,试探索三个半圆的面积之间的关系3、如图所示,分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形,其面积分别是S1、S2、S3,则它们之间的关系是( )A. S1- S2= S3 B. S1+ S2= S3 C. S2+S31),那么它的斜边长是() A、2n B、n+1 C、n21 D、7、在RtABC中,a,b,c为三边长,则下列关系中正确的是( )A. B. C. D.以上都有可能8、已知RtABC中,C=90,若a+b=14cm,c=10cm,则RtABC的面积是() A、24B、36 C、48D、609、 已知x、y为正数,且x2-4+(y2-3)2=0,如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形,那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为( )A、5B、25 C、7D、1510、 已知在ABC中,AB=13cm,AC=15cm,高AD=12cm,求ABC的周长。(提示:两种情况) 考点三:应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高例、如图1所示,等腰中,是底边上的高,若,求 AD的长;ABC的面积考点四:勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、最小角的问题1、下列各组数据中的三个数,可作为三边长构成直角三角形的是( )A. 4,5,6 B. 2,3,4 C. 11,12,13 D. 8,15,172、若线段a,b,c组成直角三角形,则它们的比为() A、234 B、346 C、51213 D、4673、下面的三角形中:ABC中,C=AB;ABC中,A:B:C=1:2:3;ABC中,a:b:c=3:4:5;ABC中,三边长分别为8,15,17其中是直角三角形的个数有( )A1个 B2个 C3个 D4个4、若三角形的三边之比为,则这个三角形一定是( )A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.不等边三角形5、已知a,b,c为ABC三边,且满足(a2b2)(a2+b2c2)0,则它的形状为()A.直角三角形B.等腰三角形 C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形6、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )A 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形7、若ABC的三边长a,b,c满足试判断ABC的形状。8、ABC的两边分别为5,12,另一边为奇数,且a+b+c是3的倍数,则c应为 ,此三角形为 。例3:求(1)若三角形三条边的长分别是7,24,25,则这个三角形的最大内角是 度。(2)已知三角形三边的比为1:2,则其最小角为 。考点五:应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题某楼梯的侧面视图如图3所示,其中米,因某种活动要求铺设红色地毯,则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为 考点六、利用列方程求线段的长(方程思想)ABC、小强想知道学校旗杆的高,他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开5米后,发现下端刚好接触地面,你能帮他算出来吗? 2、一架长2.5的梯子,斜立在一竖起的墙上,梯子底端距离墙底0.7(如图),如果梯子的顶端沿墙下滑0.4,那么梯子底端将向左滑动 米3、如图,一个长为10米的梯子,斜靠在墙面上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8米,如果梯子的顶端下滑1米,那么,梯子底端的滑动距离 1米,(填“大于”,“等于”,或“小于”) 4、在一棵树10 m高的B处,有两只猴子,一只爬下树走到离树20m处的池塘A处;另外一只爬到树顶D处后直接跃到A外,距离以直线计算,如果两只猴子所经过的距离相等,试问这棵树有多高?60120140B60AC第5题图75、如图,是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图,根据图中标出尺寸(单位:mm)计算两圆孔中心A和B的距离为 .6、如图:有两棵树,一棵高8米,另一棵高2米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,至少飞了 米xzx7、如图18-15所示,某人到一个荒岛上去探宝,在A处登陆后,往东走8km,又往北走2km,遇到障碍后又往西走3km,再折向北方走到5km处往东一拐,仅1km就找到了宝藏,问:登陆点(A处)到宝藏埋藏点(B处)的直线距离是多少? 图18-15考点七:折叠问题(较难的一类)1、如图,有一张直角三角形纸片,两直角边AC=6,BC=8,将ABC折叠,使点B与点A重合,折痕为DE,则CE等于( )A. B. C. D. 2、如图所示,已知ABC中,C=90,AB的垂直平分线交BC于M,交AB于N,若AC=4,MB=2MC,求AB的长3、折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM,求CF 和EC。ABCEFD4、如图,在长方形ABCD中,DC=5,在DC边上存在一点E,沿直线AE把ABC折叠,使点D恰好在BC边上,设此点为F,若ABF的面积为30,求折叠的AED的面积5、如图,矩形纸片ABCD的长AD=9,宽AB=3,将其折叠,使点D与点B重合,那么折叠后DE的长是多少?6、如图,在长方形ABCD中,将ABC沿AC对折至AEC位置,CE与AD交于点F。(1)试说明:AF=FC;(2)如果AB=3,BC=4,求AF的长7、如图2所示,将长方形ABCD沿直线AE折叠,顶点D正好落在BC边上F点处,已知CE=3cm,AB=8cm,则图中阴影部分面积为_8、如图2-3,把矩形ABCD沿直线BD向上折叠,使点C落在C的位置上,已知AB=3,BC=7,重合部分EBD的面积为_9、(难)如图5,将正方形ABCD折叠,使顶点A与CD边上的点M重合,折痕交AD于E,交BC于F,边AB折叠后与BC边交于点G。如果M为CD边的中点,求证:DE:DM:EM=3:4:5。 10、如图2-5,长方形ABCD中,AB=3,BC=4,若将该矩形折叠,使C点与A点重合,则折叠后痕迹EF的长为( )A3.74 B3.75 C3.76 D3.772-511、(稍难)如图1-3-11,有一块塑料矩形模板ABCD,长为10cm,宽为4cm,将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点P落在AD边上(不与A、D重合),在AD上适当移动三角板顶点P:能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C?若能,请你求出这时 AP 的长;若不能,请说明理由.再次移动三角板位置,使三角板顶点P在AD上移动,直角边PH 始终通过点B,另一直角边PF与DC的延长线交于点Q,与BC交于点E,能否使CE=2cm?若能,请你求出这时AP的长;若不能,请你说明理由.(提示:根据勾股定理,列出一元二次方程,超初二范围)12、(难)如图所示,ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E、F分别是AB、AC边上的点,且DEDF,若BE=12,CF=5求线段EF的长。 (提示:连接AD,证AEDCFD, 可得AE=C
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