5.2二次函数的图象与性质,二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质,1.抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2向上或向下平移|k|得到.,2.抛物线y=a(xh)2可以由抛物线y=ax2向左或向右平移|h|得到.,(k0,向上平移;k0向下平移.),(h0,向右平移;h0向左平移.),回味无穷,y轴,(0,0),y轴,(0,k),直线x=h,(h,0),当x0时,?,当x0时,?,当xh时,?,温故知新,在同一坐标系中作出函数y=3x,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象.,完成下表,并比较3x2,3(x-1)2和3(x-1)2+2值,它们之间有何关系?,对称轴仍是平行于y轴的直 线(x=1);增减性与y=3x2类似.,顶点是(1,2).,二次函数y=3(x-1)2+2的 图象可以看作是抛物线 y=3x2先沿着x轴向右平移 1个单位,再沿直线x=1向 上平移2个单位后得到的.,二次函数y=3(x-1)2+2的图象和抛物y=3x,y=3(x-1)2有什么关系?它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?,开口向上,当 X=1时有最小 值:且最小值=2.,先猜一猜,再做一做,在同一坐标系中作二次函数y=3(x-1)2-2,会是什么样?,X=1,怎样平移抛物线y=2x2可以得到抛物线y=2(x-1)2+1?,交流：,思考,(1)怎样平移抛物线y=2x2可以得到抛物线y=2(x-1)2+1?,y=2x2,y=2x2+1,y=2(x-1)2+1,上 1,右 1,y=2x2,y=2(x-1)2+1,y=2(x-1)2,上 1,右 1,5,y=2(x-1)2+1,y=2(x-1)2,y=2x2,5,y=2(x-1)2+1,y=2x2 +1,y=2x2,返回,我思考，我进步,在同一坐标系中作出二次函数 y=-3(x-1)2+2,y=-3(x-1)2-2,y=-3x和 y=-3(x-1)2的图象,二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2和y=-3x,y=-3(x-1)2的图象有什么关系?它们是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小?,对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=-1);增减性与y= -3x2类似.,顶点分别是 (-1,2)和(-1,-2),二次函数y=-3(x+1)2+2 与y=-3(x+1)2-2的图象可 以看作是抛物线y=-3x2 先沿着x轴向左平移1个 单位,再沿直线x=-1向上 (或向下)平移2个单位后 得到的.,二次函数y=-3(x+1)2+2与y=-3(x+1)2-2的图象和抛物线y=-3x,y=-3(x+1)2有什么关系? 它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?,开口向下, 当x=-1时y有 最大值:且 最大值= 2 (或最大值= - 2).,先想一想,再总结二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质.,x=-1,怎样平移抛物线y=ax2可以得到抛物线y=a(x+h)2+k?,思考：,上 k,右 h,上 k,右 h,y=a(x-h)2,y=ax2,y=ax2,y=a(x-h)2+k,y=a(x-h)2+k,y=ax2+k,如果K0,h0,二次函数y=a(x-h)+k与y=ax的关系,因此,二次函数y=a(x-h)+k的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值有关.,注: y=a(x-h)2 +k(a0)的形式称二次函数的顶点式,二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质,.顶点坐标与对称轴,.位置与开口方向,.增减性与最值,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=a(x-h)2+k(a0),y=a(x-h)2+k(a0),（h，k）,（h，k）,直线x=h,直线x=h,由h和k的符号确定,由h和k的符号确定,向上,向下,当x=h时,y最小值为k.,当x=h时,y最大值为k.,当xh时 y随着x的增大而增大.,当xh时, y随着x的增大而减小.,根据图形填表：,例1、说出下列函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标及最值。,(1)y=2(x+3)2+4,(3)y=(x1)23,(2)y=3x22,(4)y=2(x+2)2,例题精讲,（1）把抛物线 向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的函数关系式为 （2）二次函数 的图像开口向 ，对称轴是 ，顶点 ， 当x= 时，函数有最 值为 ， 当x 时，y随的增大而增大。 抛物线与x轴的交点为 ， 与y轴的交点 。,小试牛刀,例2一条抛物线的形状与抛物线 相同，其顶点坐标是（1，3），写出这个抛物线的函数解析式。,例题精讲,练习1.一条抛物线的形状与抛物线 相同，其对称轴与 相同，且顶点纵坐标为6，求此抛物线的解析式。 2.把抛物线 向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线 ，求b、c的值,例3.已知二次函数y=(x+m)2+k的图象如图。 根据图中提供的信息求二次函数的关系式； 求图象与x轴的交点坐标；观察图象解答：当x为何值时，y0?y=0?y0?,二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质,.顶点坐标与对称轴,.位置与开口方向,.增减性与最值,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=a(x-h)2+k(a0),y=a(x-h)2+k(a0),（h，k）,（h，k）,直线x=h,直线x=h,由h和k的符号确定,由h和k的符号确定,向上,向下,当x=h时,y最小值为k.,当x=h时,y最大值为k.,当xh时 y随着x的增大而增大.,当xh时, y随着x的增大而减小.,3、抛物线 向 平移 个单位得 到抛物线 ，再向 平移 个 单位得到抛物线 。,2、将抛物线y=4(x3)2向上平移1个单位再向右平移2个单位所得抛物线为 。,1、将抛物线y=3x2向左平移2个单位,再向下平移5个单位所得抛物线为 。,y=2(x+2)23如何平移得到y=2x2呢？,试一试,