第43讲 不等式恒成立问题,考试要求 1.不等式包含两个元的情况(C级要求)；2.不等式恒成立问题涉及一元二次不等式、线性规划、基本不等式恒成立问题.解决问题的本质是转化成求最值问题.,1.设y(log2x)2(t2)log2xt1，若t在2，2上变化时y恒取正值，则实数x的取值范围为_.,解析 设f(t)y(log2x1)t(log2x)22log2x1， t2，2，,诊 断 自 测,对一切实数x恒成立，从而原不等式等价于 2x22mxm4x26x3(xR)， 即2x2(62m)x(3m)0对一切实数x恒成立. 则(62m)28(3m)0， 解得1m3， 故实数m的取值范围是(1，3). 答案 (1，3),g(x)ming(1)3a， 3a0 a3. 即所求实数a的取值范围为(3，)., (x)max (1)3， a3， 即所求实数a的取值范围为(3，). 答案 (3，),1.恒成立问题转化成最值处理,af(x)对xD恒成立af(x)max， af(x)对xD恒成立 af(x)min.,知 识 梳 理,2.恒成立问题处理方法：,图象法、最值法、参变分离法、变换主元法等.,3.不等式的恒成立、能成立、恰成立问题,(1)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)A在区间D上恒成立f(x)minA(xD)； 若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式f(x)A成立_(xD)； 若f(x)在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)A恰在区间D上成立f(x)A的解集为D； 不等式f(x)B恰在区间D上成立f(x)B的解集为D.,f(x)maxB,f(x)maxA,f(x)minB,考点一 一元一次不等式恒成立问题,解 原不等式等价于x2ax2xa1在a1，1上恒成立. 设f(a)(x1)ax22x1，则f(a)是a的一次函数或常数函数， 要使f(a)0在a1，1上恒成立，则须满足,故实数的取值范围是(，0)(2，).,考点二 一元二次不等式恒成立问题 【例2】 已知x时，不等式12x(aa2)4x0恒成立，求实数a的取值范围.,考点三 高次不等式恒成立问题,考点四 绝对值不等式恒成立问题,解 ()当x0时，显然f(x)0成立，此时aR.,此时a的范围是(1，3). 综合()()得a的范围是(1，3).,规律方法 (1)当f(x)含有绝对值时，先去掉绝对值号， (2)这种思路是：首先是分离变量，其次用极端值原理.把问题转化为求函数的最值，若f(x)不存在最值，可求出f(x)的范围，问题同样可以解出.,考点五 线性规划恒成立问题,考点六 基本不等式恒成立问题 【例6】 已知对满足xy42xy的任意正实数x，y，都有x22xyy2axay10，则实数a的取值范围是_.,