初中数学竞赛精品标准教程及练习（45）一元二次方程的根一、内容提要1. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的实数根，是由它的系数a,b,c的值确定的.根公式是：x=.(b24ac0)2. 根的判别式 实系数方程ax2+bx+c=0(a0)有实数根的充分必要条件是：b24ac0. 有理系数方程ax2+bx+c=0(a0)有有理数根的判定是：b24ac是完全平方式方程有有理数根.整系数方程x2+px+q=0有两个整数根p24q是整数的平方数.3. 设x1,x2 是ax2+bx+c=0的两个实数根，那么 ax12+bx1+c=0(a0，b24ac0)， ax22+bx2+c=0(a0， b24ac0)； x1=，x2=(a0,b24ac0)； 韦达定理：x1+x2= , x1x2= (a0,b24ac0).4. 方程整数根的其他条件整系数方程ax2+bx+c=0(a0)有一个整数根x1的必要条件是：x1是c的因数.特殊的例子有：C=0x1=0 ， a+b+c=0x1=1 ， ab+c=0x1=1.二、例题例1. 已知：a,b,c是实数，且a=b+c+1.求证：两个方程x2+x+b=0与x2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.证明（用反证法）设两个方程都没有两个不相等的实数根，那么10和20.即由得b ，b+1 代入，得ac=b+1，4c4a5 ：a24a+50，即（a2）2+10，这是不能成立的.既然10和20不能成立的，那么必有一个是大于0.方程x2+x+b=0与x2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.本题也可用直接证法：当120时，则1和2中至少有一个是正数.例2. 已知首项系数不相等的两个方程：（a1）x2(a2+2)x+(a2+2a)=0和 (b1)x2(b2+2)x+(b2+2b)=0 (其中a,b为正整数)有一个公共根.求a,b的值.解：用因式分解法求得：方程的两个根是a和；方程两根是b和.由已知a1,b1且ab.公共根是a= 或b=.两个等式去分母后的结果是一样的.即aba=b+2, abab+1=3, (a1)(b1)=3. a,b都是正整数，；或.解得；或.又解：设公共根为x0那么先消去二次项：（b1）（a1）得（a2+2）(b1)+(b2+2)(a1)x0+(a2+2a)(b1)(b2+2b)(a1)=0.整理得（ab）(abab2)(x01)=0.abx01；或(abab2)0.当x01时，由方程得a=1,a1=0，方程不是二次方程.x0不是公共根.当(abab2)0时，得(a1)(b1)=3解法同上.例3.已知：m,n 是不相等的实数，方程x2+mx+n=0的两根差与方程y2+ny+m=0的两根差相等.求：m+n的值.解：方程两根差是同理方程两根差是依题意，得.两边平方得：m24n=n24m. （mn）(m+n+4)=0mn，m+n+40，m+n4.例4.若a,b,c都是奇数，则二次方程ax2+bx+c=0(a0)没有有理数根.证明：设方程有一个有理数根（m,n 是互质的整数）.那么a()2+b()+c=0,即an2+bmn+cm2=0.把m,n按奇数、偶数分类讨论，m,n互质，不可能同为偶数.当m,n同为奇数时，则an2+bmn+cm2是奇数奇数奇数奇数0；当m为奇数,n为偶数时，an2+bmn+cm2是偶数偶数奇数奇数0； 当m为偶数,n为奇数时，an2+bmn+cm2是奇数偶数偶数奇数0.综上所述不论m,n取什么整数，方程a()2+b()+c=0都不成立. 即假设方程有一个有理数根是不成立的.当a,b,c都是奇数时，方程ax2+bx+c=0(a0)没有有理数根.例5.求证：对于任意一个矩形A，总存在一个矩形B，使得矩形B与矩形A的周长比和面积比都等于k(k1).证明：设矩形A的长为a,宽为b，矩形B的长为c,宽为d. 根据题意，得.c+d=(a+b)k, cd=abk. 由韦达定理的逆定理，得c,d 是方程z2(a+b)kz+abk=0的两个根. （a+b）k24abk（a2+2ab+b2）k24abk=k(a2+2ab+b2)k4abk1，a2+b22ab, a2+2ab+b24ab，(a2+2ab+b2)k4ab. 0.一定有c,d值满足题设的条件.即总存在一个矩形B，使得矩形B与矩形A的周长比和面积比都等于k(k1).例6.k取什么整数值时，下列方程有两个整数解？（k21）x26(3k1)x+72=0 ；kx2+(k22)x(k+2)=0.解：用因式分解法求得两个根是：x1=，x2=. 由x1是整数，得k+1=1, 2, 3, 4, 6, 12. 由x2是整数，得k1=1, 2, 3, 6.它们的公共解是：得k=0,2,2,3,5.答：当k=0,2,2,3,5时，方程有两个整数解.根据韦达定理x1,x2,k都是整数，k=1，2.（这只是整数解的必要条件，而不是充分条件，故要进行检验.）把k=1,1,2,2，分别代入原方程检验，只有当k=2和k=2 时适合.答：当k取2和2时，方程有两个整数解.三、练习451. 写出下列方程的整数解： 5x2x=0的一个整数根是. 3x2+(3)x =0的一个整数根是. x2+(+1)x+=0的一个整数根是.2. 方程（1m）x2x1=0有两个不相等的实数根，那么整数m的最大值是.3. 已知方程x2(2m1)x4m+2=0的两个实数根的平方和等于5，则m=.4. 若x y ，且满足等式x2+2x5=0和y2+2y5=0.那么.（提示：x,y是方程z2+5z5=0的两个根.）5. 如果方程x2+px+q=0的一个实数根是另一个实数根的2倍，那么p,q应满足的关系是：. 6. 若方程ax2+bx+c=0中a0,b0,c0.那么两实数根的符号必是. 7. 如果方程mx22(m+2)x+m+5=0 没有实数根，那么方程（m5）x22mx+m=0实数根的个数是（）.(A)2 （B）1 （C）0 （D）不能确定8. 当a,b为何值时，方程x2+2(1+a)x+(3a2+4ab+4b2+2)=0 有实数根？9.两个方程x2+kx1=0和x2xk=0有一个相同的实数根，则这个根是（）(A)2（B）2（C）1（D）110. 已知：方程x2+ax+b=0与x2+bx+a=0仅有一个公共根，那么a,b应满足的关系是：.11.已知：方程x2+bx+1=0与x2xb=0有一个公共根为m，求：m，b的值.12.已知：方程x2+ax+b=0的两个实数根各加上1，就是方程x2a2x+ab=0的两个实数根.试求a,b的值或取值范围.13.已知：方程ax2+bx+c=0(a0)的两根和等于s1，两根的平方和等于s2, 两根的立方和等于s3.求证：as3+bs2+cs1=0.14.求证：方程x22(m+1)x+2(m1)=0 的两个实数根，不能同时为负.（可用反证法）15.已知：a,b是方程x2+mx+p=0的两个实数根；c,d是方程x2+nx+q=0的两个实数根. 求证：（ac）(bc)(ad)(bd)=(pq)2.16.如果一元二次方程的两个实数根的平方和等于5，两实数根的积是2，那么这个方程是：. 17.如果方程（x1）(x22x+m)=0的三个根，可作为一个三角形的三边长，那么实数m的取值范围是（）（A）0m1（B）m（C）m1（D）m118. 方程7x2(k+13)x+k2k2=0 (k是整数)的两个实数根为，且01，12，那么k的取值范围是( )（A）3k4 (B)-2k-1 (C) 3k4 或-2k-1（D）无解练习45参考答案：1.0，1，12.03.1（舍去2）4.5.9q=2p2 6. 一正一负 7. D 8. a=1,b=0.5 9. C10. a+b+1=0, ab11.m=1，b=2 12. 13. 左边a(x13+x23)+b(x12+x22)+c(x1+x2)=14. 用反证法，设x10,x20,由韦达定理推出矛盾（m1）15.由韦达定理,把左边化为p,q16. x23x+2=0 17.C18.C袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄