初中数学竞赛精品标准教程及练习（61）函数的图象一、内容提要1. 函数的图象定义：在直角坐标系中，以自变量x为横坐标和以它的函数y 的对应值为纵坐标的点的集合，叫做函数y=f(x)的图象.例如 一次函数y=kx+b (k,b 是常数，k 0)的图象是一条直线l. l 上的任一点p0(x0,y0) 的坐标，适合等式y=kx+b, 即y0=kx0+b； 若y1=kx1+b，则点p1(x1,y1) 在直线l 上.2. 方程的图象：我们把y=kx+b 看作是关于x,y 的 二元一次方程kxy+b=0,那么直线l就是以这个方程的解为坐标的点的集合，我们把这条直线叫做二元一次方程的图象.二元一次方程ax+by+c=0 (a,b,c是常数，a0,b0) 叫做 直线方程. 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线是以某二元方程的解为坐标的点的集合，那么这曲线就叫做这个方程的图象.例如：二元二次方程y=ax2+bx+c(a0) (即二次函数)的图象是抛物线； 二元分式方程y=(k0) (即反比例函数)的图象是双曲线. 3. 函数的图象能直观地反映自变量x 与函数y 的对应规律.例如： 由图象的最高，最低点可看函数的最大，最小值； 由图象的上升，下降反映函数 y是随x的增大而增大(或减小)； 函数y=f(x)的图象在横轴的上方，下方或轴上，分别表示y0,y0,f(x)0 的解集和方程f(x)=0的解. 两个函数图象的交点坐标，就是这两个图象所表示的两个方程(即函数解析式)的公共解.等等4. 画函数图象一般是：应先确定自变量的取值范围.要使代数式有意义，并使代数式所表示的实际问题有意义，还要注意是否连续，是否有界.一般用描点法，但对一次函数(二元一次方程)的图象，因它是直线(包括射线、线段)，所以可采用两点法.线段一定要画出端点(包括临界点).对含有绝对值符号(或其他特殊符号)的解析式 ，应按定义对自变量分区讨论，写成几个解析式.二、例题例1.右图是二次函数y=ax2+bx+c(a0)，试决定a,b,c 及b24ac的符号.解：抛物线开口向下，a0且a0.抛物线与纵轴的交点在正半轴上，截距c0.抛物线与横轴有两个交点， b24ac0.例2. 已知：抛物线f：y=(x2)2+5.试写出把f向左平行移动2个单位后，所得的曲线f1的方程；以及f 关于x 轴对称的曲线f2 的方程.画出f1和f2的略图，并求：（1） x的值什么范围，曲线f1和f2都是下降的；（2） x的值在什么范围，曲线f1和f2围成一个封闭图形；（3） 求在f1和f2围成封闭图形上，平行于y轴的线段的长度的最大值.解：f1：y=x2+5 (由顶点横坐标变化确定的)， f2 ：y=(x2)25 (由开口方向相反确定的).（1）当x0时，f1下降，当x2时，f2下降，当0x2时，曲线f1和f2都是下降的.（2）求两曲线的交点横坐标，即解方程组x22x3=0 . x=1；或x=3. 当1x 3时，曲线f1和f2围成一个封闭图形.(3)封闭图形上，平行于y轴的线段的长度，就是对应于同一个横坐标，两曲线上的点的纵坐标的差.在区间 1x 3内，设f1 上的点P1(x,y1), f2 上的点P2(x,y2)，求y1y2的最大值，可用配方法：y1y2(x2+5) (x2)252x2+4x+62(x1)2+8. 20，y1y2有最大值.当x=1 时，y1y2的值最大是8.即线段长度的最大值是8.例3.画函数y=的图象.解： 自变量x的取值范围是全体实数，下面分区讨论：当x1 时，y=(x+1)(x2)=2x+1；当1 x2时，y=x+1(x2)=3 ； 当x 2时， y=x+1+x2=2x1. 即y= x2123y=2x+1(x1)53y=3(1x2)33y=2x1(x2)35画函数y=的图象如下图：例4. 画方程x2+y2=1 的图象， m 表示不超过m 的最大整数.解：x20，且y2=1x20，x21 . 0x21.m 表示不超过m 的最大整数，当x2=0x=00x1 . 当x2=1x= 自变量x的取值范围是：1x2.x1x0 0 x11x2 x101x2101y2=1x2 010 y0110 y0y11y01y20y0,那么y=kx+k中，当k0时，直线上升且在y轴上的截距为正.所以应选(D)； 注意到y=1中， 当x=0和x=1时 y有最大值1，故选(A).三、练习611. 填空： 横坐标为2的点的集合，记作直线，纵轴记作直线，横轴记作直线，横坐标与纵坐标互为相反数的点的集合是直线，经过一、三象限，平分两坐标轴夹角的直线记作方程. 点P（x,y）关于横轴的对称点P1的坐标是（），点P关于原点的对称点P2的坐标是（）.f：y=3(x2)2+5,关于横轴对称的抛物线f1记作f关于原点对称的抛物线f2记作. A（1，3）关于直线y=x的对称点A，的坐标是（）.点B（2，3）关于直线y=x的对称点B，的坐标是（）.2. 根据图象位置判断指定的常数的符号 直线y=kx+b经过二、一、四象限，则k,b的符号是 抛物线y=ax2+bx+c的位置，如图所示，试确定下列代数式的符号a_, _,b_,c_,b24ac_,_3. 选择题（只有一个正确的答案）（1）下图（1）是一次函数px+qy+r=0的图象，下列条件正确的是（）.（A）p=q, r=0 .(B) p=q, r=0.(C)p=q, r=1.(D) p=q, r=1.（2）下图（2）是二次函数y=ax2+bx+c的图象，如下答案哪个正确？（）（A）a+b+c=0.（B）a+b+c0.（D）a+b+c值不定. (1) （3）二次函数y=a(x+m)2+n中，a0 , m0, n0 它的图象（）(4)两个一次函数y=mx+n y=nx+m 且mn0, 那么它们在同一坐标系内的图象大致为（）5（D）（5）在同一坐标系内，y=ax+b与y=ax2+b的图象大体位置是（）(6)已知函数y+ax+b和y=ax2+bx+c那么它们的图象是（）)(x-6)(x+2 = 0.2)(xf-5 4.画下列函数的图象y=； y=； y=()2； y=.5.有m部同样的机器，同时开始工作，需要m小时完成某项任务.设由x部机器完成某一任务，求所需的时间y(小时)与机器台数x(x为小于m的整数)的函数关系，并画出当m=5时函数的图象.6.画如下方程、函数的图象. ；y=x22|x|3.7.这是一张追及图看图回答：谁追及谁？谁早出发，早几小时？甲、乙在这段路程速度各多少？追的人从出发到追上，用了几小时？走多少路程？分别列出甲、乙两人的路程y甲，y乙和时间x的函数关系的解析式.8.如图，抛物线L1：y=ax2+2bx+c和抛物线L2：y=(a+1)x2+2(b+2)x+c+3 的位置如图所示.判断哪条抛物线经过A、B、C三点，说明理由；.求出点B和点C的横坐标；.若ABBC，OCOD，求a,b,c的值 . 9.坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数的格点(整点)， 试在二次函数 y=-1CBDA1的图象上找出满足y的所有整点(x,y), 并说明理由.（8）练习61参考答案：1. x=2,x=0,y=0,y=x,y=x；(x,y),(x,y)；y=3(x2)25, y=3(x+2)25(3，1)，(3，2) 2.k0.正，负，正，负，负，