初中数学竞赛辅导讲义（初三）第一讲 分式的运算知识点击1、 分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。2、 综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。3、 分式运算：实质就是分式的通分与约分。例题选讲例1化简 + + 解：原式= + + = - + - + - =例2 已知 = = ，且xyz0，求分式的值。解：易知： = = = 则 （1）+（2）+（3）得：(-2)(x+y+z)=0 =2 或 x+y+z=0若=2则原式= k = 8 若 +=0，则原式= k =-1例3设 =1，求 的值。解：显然X，由已知 =1 ，则 x + = + 1 = + - = (x +)-2 =( +1)-2- = 2 -1 原式=例4已知多项式3x3 +ax +3x +1 能被x+1整除，求的值。解：1- =0 =1例5：设为正整数，求证 + + + 证：左边=（1 - + - + + - ） =（1- ）n为正整数， 11- 1 故左边 小结归纳1、部分分式的通用公式： = （ - ）2、参数法是解决比例问题特别是连比问题时非常有效的方法，其优点在于设连比值为K，将连等式化为若干个等式，把各字母用同一字母的解析式表示，从而给解题带来方便。3、整体代换及倒数法是分式的的求值中常用的方法， 应熟练掌握。巩固练习1、若分式的值是正整数， 则整数m= 。2、若 = = = =则k= 。3、已知a-3b = 2ab .(a0，b0),则 = .4、已知a、b、c是有理数，且=， = ，= ，则= 。5、若 - = 2006，则= 。6、实数a、b满足ab=1，设A = + ，B= + +1，则A、B的关系为 。7、当、为何值时，多项式能被除数整除？ 8、计算 = 。9、已知= + + ， 求A、B、C的值。10、若对于3以外的一切实数X，等式 - = 均成立，则mn = 11、已知 = = ，则 = 。第二讲 分式方程及应用知识点击1、 解分式方程的基本思路是去分母化分式方程为整式方程；2、 解分式的方程的常用方法有：换元法、整体法、通分法等；3、 分式方程广泛应用于生活实际中，要注意未知数的值既要是原方程的根，又要与实际意义相符。例题选讲例1 解方程组 分析：令 =m, =n ,则可得： 易求： 例2 解方程解：原方程可化为两边分别通分： ，易求： = 4例3 当为何值时，关于x的方程的解为正数？解：解方程可得：x=，需 可得1 且m-3。例4 设库池中有待处理的污水a吨，从城区流入库池的污水按每小时b吨的固定流量增加，若同时开动2台机组需30小时处理完污水，同时启动4台机组需10小时处理完污水，若要求在5小时内将污水处理完毕，那么至少要同时开动多少台机组？解：设1台机组每小时处理污水y吨，要在5小时内处理完污水， 至少同时开动x台机组，则： 可得 X 例5 求证对任意自然数n，有2证明：当n=1时，12显然成立。当1时，（-1）所以 故：2点评归纳1、 当某个代数式在一个问题中多次反复出现时，我们可以把这个代数式当作一个整体去替换，使问题简化；2、 假分式构成的分式方程一般先分离整数， 然后等式两边分别通分可解。3、 解分式方程要注意验根，在求分式方程中待定字母的值时往入容易忽略这一点。巩固练习1、某同学用一架不等臂天平称药品， 第一次将左盘放入50g砝码，右盘放药品使天平平衡，第二次将右盘放入50g砝码，左盘放药品使天平平衡，则两次称得药品总质量（ ）A、等于100g B、大于100g C、小于100g D、都有可能2、用大小两部抽水机给麦田浇水，先用两部抽水机一起抽水2小时， 再用小抽水机单独抽水1小时即可浇完， 已知单独用小抽水机所用时间是大抽水机单独抽水所需时间的倍，求两部抽水机单独浇完这块麦田各需多少小时？3、解方程 = 4、解方程5、某工厂将总价2000元的甲种原料与总价4800元的乙种原料混合后，其平均价格比原甲种原煤料每斤少3元，比原乙种原料每斤多1元，问混合后的单价。6、自然数m、n是两个不同质数，且m+n+mn的最小值为P，则= 7、已知有因式，则= 8、求的最大值。第三讲 一元二次方程的解法知识点击1、 一元二次方程的常规解法有：直接开平方、配方法、因式分解及求根公式法。2、 对于复杂的一元二次方程往往要借助换元法、和差构造法等。3、 含有字母系数的一元二次方程一般要分类型讨论。4、 设而不求是研究一元二次方程公共解的基本方法。例题选讲例1 解方程解：令，则 =,解得，即或，解得例2 解方程 - =1解：（ + ）（ - ）=7 + =7又 - =1+： =4易知：X=1 X= 例3：已知m是方程X -2007X+1=0的一个不为O的根求 -2006m+的值解：为方程的非零根， -2007+1=0可得 =2007-1，+=2007，+1=2007原式=2007-1-2006+=+-1=2007-1=2006例4、设、为实数，那么a+ab+b- 2b的最小值为多少？解：原式：=a+（b-1）a+（b-2b） =(a+） +(b-1）-1当a=o b=1时，最小值为-1例5：解方程（x-x+1）-（x-1）=（-1）解：原方程整理为：（-1）-（2-1）+（+1）=0-（m + 1）（-1）-=0x=+1 或（-1）=1） 当0，1时，x1=，x2=2） =0，= 03） =1时=2例6：方程（2007）2 -20062008X-1=0的较大根为，方程2006x-2007X+1=0的较小根为,求-的值解:方程可化为(2007X+1)(X-1)=0X=- X=1 XX1 m=1方程可化为(2006X-1)(X-1)=0X1 =- X=1 X1 X=n - m = -1=-点评归纳1、 有的方程某部分重复出现，或经过变形后产生重复出现的式子，可通过换元使方程简化而便于求解。2、 含有两个无理根式且可化为一元二次方程的方程，若两个无理式的有理化因式与它的乘积等于一个常数，这时通常可用平方差公式构造两个无理式的和与它们的差，从而加减消去一个根式，可使方程简化并求解。3、 一元一次方程的根是满足方程的未知数的值，由此得到的等式是许多代数式求值的依据，要灵活运用。巩固练习1、 解方程：2x+-3X-= 2、解方程：+= 3、解方程：x-|2X-1|-4= 4、三个二次方程a x+bx+c=0，b x+=0，c x+=0有公共根，求证+=0 5、 已知a、b、c均为实数，且满足+|+1|+(+2)=0试求方程a x+-=0的解 6、 求证方程（-）x+（-）x +-=0（ab）有一个根为1。 7、设方程x+px+q=的两根为X1、X2，且I1 =x1 + X2 I2=x+xIn = x+ x则当n3时，求In +PIn-1+qI n-2+的值。8、证明：不论X为何实数，多项式2x4 - 4 x2 - 1的值总大于x4-2x2-4的值。9、已知a-4a+b-+=0，则a-4= 10、已知m、n为有理数，方程x2+mx+n=0有一个根为-2，求m+n的值。11、已知=+5，=+5，求5+ 5的值.12、二次方程a（x+1）（x+2）+b（x+2）（x+3）+c（x+3）（x+1）= 13、解关于x的方程（-1）x2 + 2x+3=0第四讲 根的判别式及根与系数的关系知识点击、设一元二次方程ax+bx+c=0（a0）的两根为X1、 X2，则ax+bx+c = a（X- X1）（X- X2）= ax-（X1+ X2）X+X1X2 X1+ X2= - X1 X2= 这两个式子即为一元二次方程根与系数的关系。要注意，方程有两个实数根是两根关系式存在的前提，即通常要考虑0 、 0这两个前提条件。2、 一元二次方程根的判别式源自求根公式，常记作=b-4ac，使用的前提是方程为一元二次方程，即二次项系数a0，它是解决一元二次方程整数解的工具。3、 使用根的判别式及根与系数的关系时，常常涉及到完全平方数、整数性质、因式分解、因数分解等重要知识与方法。例题选讲例1：已知一直角三角形三边分别为a、b、c，B=90，那么关于X的方程a（X-1）-2CX+b（X+1）=0的根的情况如何？解：方程整理为：（a+b）X-2CX+b-a=0 =4（C+ a-b） B=90 C+ a= b=0 ，原方程有两个相等实根例2：求所有正实数a，使得方程X-aX+4a=0仅有正整数根。解：设方程的两个正整数根为X，y（Xy）则 X-4（+）=0 （-4）（-4）=16 这时x=y=8 a=+=16 这时 a=+=18 这时 a=+=25例3：已知1260，且一元二次方程X-2（+1）+=0，两个整数根，求整数，并求这两个整数根。X=+1为整数 2+1必为完全平方数12 60，252+1121 2+1为奇数2+1=49或2+1=81则 1=24时，X1=32，X2=18 2=40时，X1=50，X2=32例4：设a、b、c是互不相等的非零实数，求证三个方程，aX+2bx+c=0 bX+2cx+a=0C X+2ax+b=0不可能都有两个相等的实数根。证明（一）：假设三个方程都有两个相等的实数根。（1）+（2）+（3）：2a+2b+2c-2ab-2bc-2ca=0 (-)+(-)+(-)=0 有 =,这与已知条件矛盾所以三个方程不可能都有两个相等的实数根.证明（二）:1+2+3=2(+)2+(-)2+(-)2a、b、c为全相等 1+2+30