第四节 函数的微分,一、微分的定义,二、微分的几何意义,三、微分的运算法则,四、基本初等函数的微分公式,五、微分在近似计算中的应用,六、小结 思考题,问题的提出,实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.,再例如,既容易计算又是较好的近似值,问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?,一、微分的定义,定义,(微分的实质),由定义知:,可微的条件,定理,证,(1) 必要性,(2) 充分性,例1,解,二、微分的几何意义,M,N,）,几何意义:(如图),三、微分的运算法则,求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.,2. 函数和、差、积、商的微分法则,例2,解,例3,解,微分形式的不变性,结论：,微分形式的不变性,例5,解,例4,解,例6,解,在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立.,四、基本初等函数的微分公式,五、微分在近似计算中的应用,例7,解,计算函数的近似值,例8,解,常用近似公式,证明,例9,解,六、小结,微分学所要解决的两类问题:,函数的变化率问题,函数的增量问题,微分的概念,导数的概念,求导数与微分的方法,叫做微分法.,研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学.,导数与微分的联系:,导数与微分的区别:,近似计算的基本公式,思考题,思考题解答,说法不对.,从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念.,练 习 题,练习题答案,