第五模块 微分方程,5.1 微分方程的概念 5.2 可分离变量的一阶微分方程 5.3 齐次微分方程 5.4 一阶线性微分方程 5.5 微分方程的简单应用举例 5.6 微分方程模块习题课,授课说明,一、案例 二、知识要点 三、应用,5.1 微分方程的概念,解 设这条曲线的方程为,，则,其中,上式两端对,进行积分，即,，解得,，将,代入,上式，解得,。所以所求曲线方程为,一、案例,对（5.1.1）式两边积分，得,对（5.1.2）式两边再积分，得,其中C2也是任意常数显然（5.1.3）式给出了s与t 的,函数关系。,依题意初始位置和初始速度都为零，即,将（5.1.5）式代入（5.1.2）式，可得C1 =0；,再将（5.1.4）式和C1 =0代入（5.1.3）式，可得C2 =0。,于是，所求的了s与t 的函数关系，即物体下落的,运动方程为：,分析上面的例题，可得到微分方程的一般概念：,凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间 的关系的方程，叫做微分方程,注意：微分方程中可以不显含自变量和未知函数，但必须显含未知函数的导数或微分,因此，简单地说，含有未知函数的导数或微分的方程，叫做微分方程,二、知识要点,未知函数是一元函数的方程，叫做常微分方程；,未知函数是多元函数的方程，叫做偏微分方程,本模块只讨论常微分方程,微分方程的分类：,微分方程中所出现的未知函数导数的最高阶阶数，叫做微分方程的阶,二阶和二阶以上的微分方程统称为高阶微分方程,一般地，n阶微分方程的形式是,如果把一个函数及其导数代入微分方程后，能使微分方程成为恒等式，则称此函数为该微分方程的解,如果微分方程的解中含有任意常数，且任意独立常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解；确定了通解中的任意常数以后，就得到微分方程的特解,用以确定通解中任意常数的条件通常称为初始条件,求微分方程满足某初始条件的解的问题，称为微分方程的初值问题,【例题5.1.3】 验证：函数,是微分方程,的通解,解 首先，求所给函数的一阶导数和二阶导数：,三、应用,将,及x的表达式代入所给方程， 得,这表明函数,满足二阶微分方程,因此它是所给方程的解,例如：函数,就是满足初值问题,的解,解 首先，求所给函数的导数：,且满足初始条件：,所以函数,是满足初值问题,的解,【练习5.1.1】 验证由二元方程,确定的函数为微分方程,的解,解 首先，求所给函数的导数：,将上式代人方程,得,这表明函数,是微分方程,的解,【练习5.1.2】 验证：函数,是微分方程,的解,解 首先，求所给函数的导数：,这表明函数,是,的解。又因为,所以,是,满足初始条件,满足初始条件,的特解,