中考数学专题复习：有理数（一）数的分类（强化记忆） （按符号分） （按定义分、按性质分）注意点： (1)凡能写成形式的数，都是有理数（2）正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.（3）0即不是正数，也不是负数。0是正数与负数的分界；0不仅表示没有，还表示某种量 的基准。如0不能理解为没有温度。（4）初中范围内 数是指实数 正数是指正实数 负数是指负实数（5）对于正数和负数，不能简单理解为带“+”号的数是正数，带“”号的数是负数 误认为凡带正号的数就是正数，误认为凡带负号的数就是负数 例-a不一定是负数，+a 也不一定是正数； （6）p不是有理数，而是无理数；（7）非负整数应理解成“非负的整数”，不能理解成“非负整数”，即正整数与零。例1、把下列各数填在相应的集合里 5，-2，4.6，0，-2.25，1，+0.34，+13，-3.1416，整数集合 5，-2，0，+13， 非负整数集合5，0，+13， 负分数集合，-2.25， -3.1416， 正有理数集合5， 4.6，1，+0.34，+13，例2：一种商品的标准价格是200元，但是随着季节的变化商品的价格可浮动10，（1）10的含义是什么？（2）请你计算出该商品的最高价格和最低价格。（3）如果以标准价为“基准”，超过“基准”记为“+”，低于“基准”记为“-”，那么该商品价格浮动的范围又可以怎样表示。解：（1）10的含义是在标准价格的基础上加价和降价的幅度不超过10。（2）最高价格：200（1+10）=220（元） 最低价格：200（1-10）=180（元）（3）180-200=-20（元）220-200=20（元）以标准价格是200元为“基准”，该商品价格浮动的范围为20元。例3、光盘的质量标准中规定：厚度为(1.20.1)mm的光盘是合格品，说说1.2mm和0.1mm所表示的意义。解：1.2mm表示光盘的标准厚度；0.1mm表示光盘厚度最大不超过标准厚度0.1mm, 最小不低于标准厚度的0.1mm.（二）正数与负数表示具有相反意义的量。这样使用负数后，在表示具有相反意义的两个词语之中，只用一个词语就可以把事情说清。如减少5hm2 就可以说成增加 -5hm2.(注意“两变”）常见的相反意义的量：高于与低于，零上与零下，盈利与亏损，增加与减少，上升与下降。例1.“甲比乙大-2岁”表示的意义是（ A）A、甲比乙小2岁 B、甲比乙大2岁 C、乙比甲大-2岁 D、乙比甲小2岁（三）数轴、相反数、绝对值、倒数的概念（强化记忆）1、数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.数轴的含义：（1）数轴是一条直线，可以向两边无限延伸（2）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度、这三者缺一不可（3）数轴一般取右（或向上）为正方向，数轴的原点的选定，正方向的取向，单位长度大小的确定都是根据实际需要规定的。（4）同一数轴的单位长度必须一致2相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；(2)相反数的和为0 a+b=0 a、b互为相反数.（3）互为相反数的两数绝对值相等。3.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数； 注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2) 绝对值可表示为：或 ；绝对值的问题经常分类讨论；注：的解为；而，但少部分同学写成 4.倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a0，那么的倒数是；也可表示为a-1,若ab=1 a、b互为倒数；若ab1 a、b互为负倒数.例1.已知A、B两点坐标分别为3、6，若在数在线找一点C，使得A与C的距离为4；找一点D，使得B与D的距离为1，则下列何者不可能为C与D的距离（）A、0B、2 C、4D、6分析：将点A、B、C、D在数轴上表示出来，然后根据绝对值与数轴的意义计算CD的长度解：根据题意，点C与点D在数轴上的位置如图所示：在数轴上使AC的距离为4的C点有两个：C1、C2数轴上使BD的距离为4的D点有两个：D1、D2C与D的距离为：C2D2=0；C与D的距离为：C2D1=2；C与D的距离为：C1D2=8；C与D的距离为：C1D1=6；综合，知C与D的距离可能为：0、2、6、8故选C点评：此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点（四）非负数定理：几个非负数之和为0，则每一个非负数都为0 （强化记忆） 注：非负数：零和正数统称非负数。常见的非负数的形式：|a| 、；例1、已知 ,求 的值。解： x-3=0,y+3=0 x=3,y=-3 原式=(-3)3+33-(-1)2010=-27+27-1=-1（五）实数大小的比较（强化记忆）（1）利用数轴：数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（2）利用绝对值：正数0负数，正数负数，两个负数，绝对值大的反而小； （5）平方法：先平方再作差（6）倒数法例1、已知有理数a,b在数轴上的位置如图所示，现比较a,b,-a,-b的大小b-aa”、“”、“=”） 通过观察归纳，写出能反映这种规律的一般结论，并加以证明。解：横线上填写的大小关系是、=一般结论是：如果a、b是两个实数，则有a2+b22ab）证明：作差a2+b22ab =（ab）20 a2+b22ab （六）实数的加、减、乘、除、乘方运算（强化记忆）1. 加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数.2加法运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a；（2）加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）.3减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）.注：有理数加减法法则 （口诀记法）先定符号，再计算,同号相加不变号.异号相加“大”减“小”，符号跟着“大数”跑.4.乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定,当负因数个数为奇数个时积为负，当负因数个数为偶数个时，积为正。5.乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba；（2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）；（3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac .6有理数除法法则：同号为正，异号为负，并把绝对值相除。除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，.7乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；8有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n为正奇数时: (a)n=-an或(a b)n=(ba)n, 当n为正偶数时: (a)n =an 或 (ab)n=(ba)n .特殊情况:当n为正奇数时: (1)n=1;当n为正偶数时: (1)n=1注：“奇负偶正”的应用（1）、如下符号的化简（指负号的个数与结果符号的关系），如：-+-(-2)= -2（2）、连乘式的积（指负因数的个数与结果符号的关系），如： (-1)(-2)(-3)(+4)=-24(-1)(-2)(-3)(-4)=24（3）、负数的乘方(指乘方的指数与结果符号的关系)，如：(-2)3=-8, (-3)2=9（4）、分数的符号法则（指的是分子、分母及分数本身三个符号中，同时改变两个，值不变，但改变一个或三个都改变时，分数的值就变相反了），如：；9.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减. 有括号先算括号里的运算。在较复杂的运算中，不注意运算顺序或者不合理使用运算律，从而使运算出现错误.如55.10. 整数指数幂的有关运算及乘法公式表述: 同底数幂相乘，底数不变，指数相加，表述: 同底数幂相除，底数不变，指数相减，表述: 幂的乘方，底数不变，指数相乘，表述:积的乘方等于乘方的积表述:任何不等于0的数的0次幂等于1表述: 任何不等于0的数的-p次幂,等于这个数的p次幂的倒数表述:分式的乘方等于分子分母各自乘方。平方差公式：表述:两个数的和与两个数差的积等于这两个数的平方差。完全平方和公式： 表述: 两个数和的平方，等于它们的平方和，加上它们的乘积的2倍完全平方差公式： 表述:两数差的平方，等于它们的平方和，减去它们的乘积的2倍例1、已知 ,且a-b0,求a+b的值。解： a=3，b=2. a-b0 ab a=-3,b=-2 或a=-3,b=2 当a=-3,b=-2 时 a+b=（-3）+（-2）=-5 当a=-3,b=2 时a+b=-3+2=1 a+b的值为-5或1例2、a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值等于2,试求。解：a、b互为相反数 a+b=0 c、d互为倒数 cd=1 x=2 当x=2时，原式= 当x=-2时，原式=例3、用“”，“”、“”填空。（1） (2) （3） 请通过以上式子观察归纳，试猜想：对于任意两个数a、b总有 结论成立。例4、计算、观察、猜想与应用：（1）算一算：下面两组算式 与 ；与 ,每组两个算式的结果是否相同？（2）想一想： 等于什么？（3）猜一猜：当n为正整数时，等于什么？你能用乘方的意义说明理由吗？（4）用一用：利用上述结论，求 的值。解:(1) ，； 每组两个算式的结果相同 （2） 等于 (3)猜想：当n为正整数时 理由： （七）周期性问题即同余问题（强化记忆） 这类问题要紧紧抓住周期与余数，余数相同性质也相同。例1、（2011浙江省舟山）一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是（ ）（A）2011（B）2011（C）2012（D）2013 红 黄 绿 蓝 紫 红 黄 绿 黄 绿 蓝 紫解: 纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列 周期为5 ,故可设截去部分纸环的个数为x个，则(8+x+1)被5后余数为2，仅D选项符合要求。例2、（2011山东日照）观察图中正方形四个顶