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反比例函数一:【课前预习】(一):【知识梳理】一:【课前预习】(一):【知识梳理】1反比例函数:一般地,如果两个变量x、y之间的关系可以表示成 (k为常数,k0)的形式(或y=kx-1,k0),那么称y是x的反比例函数【名师提醒:1、在反比例函数关系式中:k0、x0、y02、反比例函数的另一种表达式为y= (k是常数,k0)3、反比例函数解析式可写成xy= k(k0)它表明反比例函数中自变量x与其对应函数值y之积,总等于 】2反比例函数的概念需注意以下几点:(1) k为常数,k0;(2)中分母x的指数为1;例如y= 就不是反比例函数;(3)自变量x的取值范围是x0的一切实数;(4)因变量y的取值范围是y0的一切实数3反比例函数的图象和性质(1)、反比例函数y=(k0)的图象是 _它有两个分支,关于 对称(2)、反比例函数y=(k0)当k0时它的图象位于 ,_象限,在每一个象限内曲线从左到右下降,y随x的增大而 当k0时,它的图象位于_,_象限,在每一个象限内,曲线从左到右上升,y随x的增大而 。【名师提醒:1、在反比例函数y=中,因为x0,y0所以双曲线与坐标轴无限接近,但永不与x轴y轴 2、在反比例函数y随x的变化情况中一定注明在每一个象限内】4、反比例函数中比例系数k的几何意义: 反曲线y=(k0)上任意一点P向两坐标轴作垂线交于A,B 两线PA,PB与坐标轴围成的图形面积 ,即如图: AOBP= SAOP= 【名师提醒:k的几何意义往常与前边提示中所谈到的xy=k联系起来理解和应用】5画反比例函数的图象时要注意的问题:(1)画反比例函数图象的方法是描点法;画反比例函数的图象要注意自变量的取值范围是x0,因此,不能把两个分支连接起来;(2)由于在反比例函数中,x和y的值都不能为0,所以,画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴,但永远不能达到x轴和y轴的变化趋势6. 反比例函数y= (k0)中比例系数k的几何意义,即过双曲线y=(k0)上任意一点引x轴、y轴垂线,所得矩形面积为k。7. 用待定系数法求反比例函数解析式时,可设解析式为 因为反比例函数y=(k0)中只有一个被定系数 所以求反比例函数关系式只需知道一组对应的x、y值或一个点的坐标即可,步骤同一次函数解析式的求法一、 反比例函数的应用二、 解反比例函数的实际问题时,先确定函数解析式,再利用同象找出解决问题的方案,这里要特别注意自变量的 (二):【课前练习】1.下列函数中,是反比例函数的为( )A. ;B. ;C. ;D. 2. 反比例函数中,当0时,随的增大而增大,则的取值范围是( )A. ;B. 2;C. ;D. 23. 函数y= 与y=kx+k在同一坐标系的图象大致是图中的( )4. 已知函数 y=(m21),当m=_时,它的图象是双曲线 5.如图是一次函数和反比例函数的图象,观察图象写出时,的取值范围 二:【经典考题剖析】 1.设 (1)当为何值时,与是正比例函数,且图象经过一、三象限 (2)当为何值时,与是反比例函数,且在每个象限内随着的增大而增大2.有的正比例函数、反比例函数、一次函数各一个,已知是一次函数和正比例函数的一组公共的对应值,而是一次函数和反比例函数的一组公共的对应值(1)求这三个函数的解析式,并求时,各函数的函数值是多少?(2)作出三个函数的图象,用图象法验证上述结果3. 如图所示,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y= (k0)的图象交于M、N两点 求反比例函数和一次函数的解析式; 根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围 4. 如图,一次函数与反比例函数的图象分别是直线AB和双曲线直线AB与双曲线的一个交点为点C,CDx轴于D,OD=2OB=4OA=4求一次函数和反比例函数的解析式5. 某厂从2001年起开始投入技术改进资金,经技术改进后,其产品的生产成本不断降低,具数据如下表:请你认真分析表中数据,从你所学习过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪个函数能表示其变化规律,说明确定是这种函数而不是其他函数的理由,并求出它的解析式;按照这种变化规律,若2005年已投人技改资金5万元预计生产成本每件比2004年降低多少万元? 如果打算在2005年把每件产品成本降低到32万元,则还需投人技改资金多少万元(结果精确到001万元)三:【课后训练】1.关于(k为常数)下列说法正确的是()A一定是反比例函数; Bk0时,是反比例函数Ck0时,自变量x可为一切实数; Dk0时, y的取值范围是一切实数2.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫,已知每只玩具熊猫的成本为y元,若该厂每月生产x只(x取正整数)这个月的总成本为5000元,则y与x之间满足的关系式为( )A;B;C;D 3. 已知点(2,)是反比例函数y=图象上一点,则此函数图象必经过点( )A(3,5); B(5,3); C(3,5); D(3,5)4. 面积为3的ABC,一边长为x,这边上的高为y,则y与x的变化规律用图象表示大致是图中的( )5. 已知反比例函数y=的图象在第一、三象限,则对于一次函数y=kxky的值随x值的增大而_.6. 已知反比例函数y=(ml)的图象在二、四象限,则m的值为_.7. 已知:反比例函数y=和一次函数y=mx+n的图象一个交点为 A(3,4)且一次函数的图象与x轴的交点到原点的距离为5,分别确定反比例函数和一次函数的解析式8. 某地上年度电价为08元,年用电量为 1亿度,本年度计划将电价调至0.550.75元之间,经测得,若电价调至x元,则本年度新增用电量y(亿度)与(x0.4)元成反比例,又当 x=065时,y=08(1)求y与x之间的函数关系式;(2)若每度电的成本价为03元,则电价调至多少时,本年度电力部门的收益将比上年度增加20【收益=用电量(实际电价一成本价)】9. 反比例函数y=的图象经过点 A(2,3)求出这个反比例函数的解析式;经过点A的正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y= 的图象,还有其他交点吗?若有,求出坐标;若没有,说明理由10. 如图所示,点P是反比例函数y一上图象上的一点,过P作x轴的垂线,垂足为E当P在其图象上移动时,POE的面积将如何变化?为什么?对于其他反比例函数,是否也具有相同的规律? 【重点考点例析】 考点一:反比例函数的同象和性质例1 (2012张家界)当a0时,函数y=ax+1与函数 在同一坐标系中的图象可能是()A BC D思路分析:分a0和a0两种情况讨论,分析出两函数图象所在象限,再在四个选项中找到正确图象点评:本题考查了一次函数与二次函数的图象和性质,解题的关键是明确在同一a值的前提下图象能共存例2 (2012佳木斯)在平面直角坐标系中,反比例函数 图象的两个分支分别在()A第一、三象限 B第二、四象限 C第一、二象限 D第三、四象限 思路分析:把a2-a+2配方并根据非负数的性质判断出是恒大于0的代数式,再根据反比例函数的性质解答点评:本题考查了反比例函数图象的性质,先判断出a2-a+2的正负情况是解题的关键,对于反比例函数(k0):(1)k0,反比例函数图象在一、三象限;(2)k0,反比例函数图象在第二、四象限内例3 (2012台州)点(-1,y1),(2,y2),(3,y3)均在函数的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是()Ay3y2y1 By2y3y1 Cy1y2y3 Dy1y3y2 思路分析:先根据反比例函数的解析式判断出此函数图象所在的象限,再根据各点的坐标判断出各点所在的象限,根据函数图象在各象限内点的坐标特点解答点评:本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点,根据题意判断出函数图象所在象限是解答此题的关键对应训练1(2012毕节地区)一次函数y=x+m(m0)与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中是()A B C D2(2012内江)函数的图象在()A第一象限 B第一、三象限 C第二象限 D第二、四象限 3(2012佛山)若A(x1,y1)和B(x2,y2)在反比例函数的图象上,且0x1x2,则y1与y2的大小关系是y1 y2考点二:反比例函数解析式的确定例4 (2012哈尔滨)如果反比例函数的图象经过点(-1,-2),则k的值是()A2 B-2 C-3 D3 思路分析:根据反比例函数图象上点的坐标特征,将(-1,-2)代入已知反比例函数的解析式,列出关于系数k的方程,通过解方程即可求得k的值 点评:此题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式,是中学阶段的重点解答此题时,借用了“反比例函数图象上点的坐标特征”这一知识点对应训练4(2012广元)已知关于x的方程(x+1)2+(x-b)2=2有唯一的实数解,且反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而增大,那么反比例函数的关系式为()A B C D 考点三:反比例函数k的几何意义例5 (2012铁岭)如图,点A在双曲线上,点B在双曲线(k0)上,ABx轴,分别过点A、B向x轴作垂线,垂足分别为D、C,若矩形ABCD的面积是8,则k的值为()A12 B10 C8 D6 思路分析:先根据反比例函数的图象在第一象限判断出k的符号,再延长线段BA,交y轴于点E,由于ABx轴,所以AEy轴,故四边形AEOD是矩形,由于点A在双曲线上,所以S矩形AEOD=4,同理可得S矩形OCBE=k,由S矩形ABCD=S矩形OCBE-S矩形AEOD即可得出k的值解:双曲线(k0)上在第一象限,k0,延长线段BA,交y轴于点E,ABx轴,AEy轴,四边形AEOD是矩形,点A在双曲线上,S矩形AEOD=4,同理S矩形OCBE=k,S矩形ABCD=S矩形OCBE-S矩形AEOD=k-4=8,k=12故选A点评:本题考查的是反比例函数系数k
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