经济学中的数学意义 改革开放以来西方经济学作为市场经济运行描述的基本理论对我们经济学学习和研究的作用越来越重要从学习和研究的角度看似乎可以明显感觉到西方经济学（本文中主要指新古典（综合）主义经济学）的理论体系、思维方式和推理方式的深刻特点之一表现在其数学性方面也正是这一特征使人们常常把经济学看成是最接近自然科学的社会科学学科因此对一般数学的意义、数学与理论的科学性、数学在经济学研究中的意义和具体作用、及数学的限制等基本问题的深入思考将有助于我们进一步认识和把握西方经济学的基本思想和理论特征更好地学习、借鉴和认识西方经济学 一、数学与理论的科学性 众所周知数学作为一个独立的知识体系起源于古希腊两千多年特别从牛顿时代以来数学及其具体应用自然科学取得了辉煌的成就长期以来人们习惯认为能充分应用数学的学科或领域等价于科学数学所显示出的人类理性能力、根源和力量在诸多自然科学领域也似乎得到了完美的体现这自然使人们猜想为什么不能把数学方法应用到社会学科领域去寻求其真理呢西方经济学也许正是这种猜想的一个主要结果或实验数学究竟能给经济学带来什么呢在进一步分析经济学中数学的意义之前我们应先来概略了解一下几个数学基础问题 1、数学 简单回答这个问题是十分抽象的例如若干著名学者认为“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系”数学“是研究抽象结构的科学“数学是结构及其模型的科学”等等数学在理论上的概括和科学的实际发展中一般给人们的印象是与其他学科相比数学的特点可归结为更高度的抽象性、更严密的逻辑性和更广泛的应用性因此说数学是一切科学的根本基础是科学的皇后是十分自然的 稍具体说首先数学概念是抽象的典范几乎它的所有基本概念在现实世界中是找不到的例如点、线、面；自然数、实数、虚数和四元数等等；它们是抽象的又是深刻的极其奇妙地、精确地刻画自然事物的某种基本特征其次数学是严密逻辑推理的象征其方法论的核心是演绎法即从不证自明的公理出发进行演绎推理；其实质含义是若公理为真则可保证其演绎的结论为真；从逻辑上看演绎法是清晰、合理和完美的由数学推出的显然是毋庸置疑的正确结论最后由上面两点数学应用的广泛性是不言自明的 人的认识是无止境的由于数学在科学发展中至高无上的地位人们自然要进一步问数学是绝对真理亦即数学的抽象性是绝对无误的数学的严密逻辑性是绝对可靠的数学应用的广泛性是无限的稍考察一下数学发展的历史可以看出人们在这个问题的认识是不断变化发展的 2、数学的真理性问题 十九世纪二十年代之前数学的发展是顺利的人们对于数学的真理性是确认的特别是十五十八世纪数学的顺利发展达到高峰；这一时期一大批数学家同时在在数学和自然科学方面做出了惊人的成就如哥白尼、开普勒、伽里略、笛卡尔、惠更斯和牛顿等他们从许多方面证明了自然界的一些现象与数学定律相吻合最突出是牛顿力学；所有这些极大地加强了数学作为绝对真理的信念人们相信上帝设计了宇宙而数学的作用就是揭示出这些设计 然而十九世纪二十年代非欧几何的提出和集合论中悖论的出现使整个科学界震动它迫使数学家们从根本上改变了对数学性质的认识以及数学和物质世界关系的理解由此引出数学巨人之间关于数学基础的新数学方法而展开激烈的争论如由弗雷格、罗素和怀特海为代表的逻辑主义认为逻辑法则是一个真理体系而所有的数学是可以由逻辑推导出来同一时期以克罗内克、鲍莱尔、彭家勒和贝尔为代表的直觉主义却认为从逻辑原理所推导出来的东西不比直觉感悟的更可信数学可能是从经验开始的但并不真正源于经验而是来源于心智（经验只是唤醒心智）第三大派系大卫希尔伯特领导的形式主义认为数学实际上是一些形式系统各有各自的概念各自的公理各自的推导定理的法则以及各自的定理把每个演绎系统发展起来就是数学最后是以策梅罗、弗兰克尔为代表的集合论公理化学派他们把解决悖论的方法寄托于集合论的公理化即对所容许的集合类型加以限制同时又使它们有充分的性质作为一切数学分析的基础 到了本世纪三十年代这四种彼此独立、不同的关于数学基础的方法已形成并相互对峙人们再也不能说某一个数学定理已证明了这时还必须加上是依个标准它才是被证实了人们不禁要问这些数学是相容的除了直觉主义认为人的直觉能保证相容性外这个问题对于数学和科学来说变得越来越重要和严峻然而1931年著名数学家哥德尔得出了震惊世界的两个结论其中对于数学基础问题研究具有毁灭性的结论是：任何数学系统只要它能包含整数的算术其相容性就不可能通过这几个基础学派（逻辑主义、形式主义和集合论公理化学派）采用的逻辑原理而建立另一个结论也可称作“哥德尔不完备性定理”它断言：不仅数学的全部甚至任何一个系统都不可能用类似哥德尔使用的能算术化的数学和逻辑公理系统加以概括因为任何这样的公理系统都是不完备的哥德尔的结论实际上表明我们使用的任何数学方法都不可能借助于安全的逻辑原理来证实其相容性亦即表明数学结果的绝对确定性和有效性已丧失从更深刻的意义上说歌德尔不完备性定理是对排中律的否定；即有些命题既不能被证明也不能被证伪而又有意义 3、数学的有效性 现在数学已发展这样一个阶段逻辑主义、直觉主义、形式主义和集合论公理化主义它们都有着某种不同的哲学基础而难以形成某种共同的基础而这似乎意味着这样一个事实：并不是只有一种而是有多种数学；亦即数学并不是一个独一无二的、严格的逻辑结构；它也许是一个人造体系是一系列经过逻辑筛选、抽象和组织、是某种人所公认的非凡的直觉；这些直觉是我们的感觉器官、大脑和外部世界相结合的产物任何一种数学或其分支都只是提供了某种可用的理论根本意义上说数学也是一门自然科学任何为其寻求绝对基础的企图是注定要失败的 当然自然科学发展的历史也表明与任何其它实验科学相比数学作为一种精确而有效的思维方法相对来说是最为广泛和深刻、有效的；其作用也更为基本、更为重要例如在其它科学的历史发展中都曾经发生过若干次根本性的变化而在数学中大部分逻辑和经典分析已使用了许多世纪（虽理论上存在某些深刻的问题）现在仍然还适用从这个意义上说数学又的确不同于其它科学我们可以把它称为准经验知识 数学在自然科学的应用中为什么能得出非凡的实际结论为什么那些长而复杂的纯推理过程（纯推理是独立于经验的）能产生意想不到而又准确的结论现在并没有令人满意的解释一种解释是人类试图从复杂的自然现象中猜想（提炼）出某些简单的系统其性质能用数学来描述正是人类这种抽象化能力产生了对自然令人惊异的数学描述我们也必须清醒地看到这种成功是有条件限制的例如数学成功的领域主要是物理世界或无生命的物质其方法论是把物理世界用长度、质量、重量和时间等简单概念来刻画也许由于其行为是可重复的因而用数学描述是有效的另一方面其代价是牺牲自然世界的丰富性；数学只能是描述了自然某些简单化了的方面和过程决不是全部另外在政治学、社会学、心理学、经济学和生物学等领域数学的有效性就非常不明显了这自然是由于研究对象的不同性质和复杂性所决定的 如何认识数学的真理性问题如何看待数学在自然科学中的有效性问题如何理解数学在社会科学等领域中的作用问题等等；这类的问题大都属于哲学的范畴；虽然实难形成确定性结论但通过学习和思考得到的有关认识对于我们学习和认识西方经济学是十分有益的能使我们的看法更加深刻起来 二、经济学中数学应用意义的初步思考 西方经济学从亚当斯密国富论起的二百多年来已形成了一个庞大而较严密的理论体系在整个社会科学中经济学的理论形式、研究方法是公认为最接近自然科学的我认为这实际上表明数学作为一种理论信念、方法论和研究手段十分明显地体现在西方经济学的基本特征中下面具体展开谈一谈 1、经济学能成为一门科学 提出这个问题至少有两个层次的含义：一是经济学和一般自然科学的研究对象有根本差别二是西方经济学是如何具体进行科学研究的从方法论的角度看某些自然科学成功发展的历史似乎明确告诉人们一门学科要想成为一门科学起码要解决两个基本问题：一是要有坚强的科学信念即坚信其理论研究对象的客观性或研究对象客观规律性；二是数学方法要成为研究的主要方法；这两个问题实际上是不可分离的众所周知经济学是研究关于人类行为的学科而人类行为是很难简单看作是客观的因此西方经济学首先要解决其研究对象的客观性问题 西方经济学在讨论经济学的研究对象时往往引用最多的著名论述是约翰梅纳德凯恩斯的观点在其名著政治经济学的范围与方法一书中他指出“一门实证科学是关于这一类问题的系统的知识体系；而一门规范科学(或称管理科学)关于应该这一类问题的标准的系统的知识体系”这一观点把经济学分为实证经济学和规范经济学同时强调实证经济学作为整个经济学基础的重要地位；美国著名经济学家弗里德曼也在其著名论文实证经济学的方法论中指出：“从原则上说实证经济学是独立于任何特别的伦理观念或规范判断的简言之实证经济学是或者说可以是一门客观的科学这里客观一词的含义完全等同于任一自然科学上的定义”西方经济学长期的发展过程中模仿自然科学及方法的信念是十分坚定的仅从其内容和研究方法看也是有效的这一点从许多基本概念及思想就可见一斑例如效用、边际、理性经济人、均衡、最大和最小原则、需求定律、理性预期等等从方法论看这些基本概念设定的一个核心思想是避免或消除经济关系中的不确定因素从而使其研究能得到确定性或“规律性”的东西又例如“均衡”作为西方经济学中的核心概念和思想是从亚当斯密“看不见的手”的思想演变而来实际上“看不见的手”的思想并不完全等同于“均衡”思想原思想更深刻、更复杂和更宽泛得多“均衡”是对其的简化即去除其不确定性部分形成某种确定性或新的明确信念“均衡”似乎给我们更多的是某些确定性的结论或信念；（在某些非常严格的假设条件下）如供求定律、均衡价格的存在性、一般均衡、局部均衡、边际收益等于边际成本等等“均衡”是经济运行的基本特征或基本状态我认为“均衡”是一种精巧的理论构思更是一种“科学的信念”在解释和理解某些常规经济现象时是有分析力的但更重要地是希望符合一般科学研究特征的要求 如果我们期望（或假设）把人类经济现象能够作为科学研究的对象或者说具有这样的坚定信念则西方经济学的确是有成效的和富有智慧的因此经济学是否为一门科学在很大程度上是一个信念问题或者说其信念将产生巨大的影响当然把人类经济问题转化为科学研究的问题光有信念是不够的还必须有具体的思想、创造和方法；从方法论的角度看也就是要解决数学在经济学中应用的基本思想及其假设 2、经济学中应用数学的思想及其假设 按传统流行的科学观一门学科达到科学的一个重要标准是看它能否充分运用数学方法西方经济学认为这对经济学也应是对的另一方面经济现象与自然现象又非常不同它是一种与人、人类（文化、政治）历史进化、人与人关系等等一系列复杂的社会因素有关的、比自然现象更加复杂、不稳定的现象把这样一种现象人为地转化为科学研究的对象并达到数学能运用之的确需要坚定的科学信念和具体的研究手段；其中最重要的就是如何确定西方经济学中的有关基本假设及其思想根据作者的初步认识西方经济学中基本假设及其思想可概括如下： （1）注重静态忽略动态如“均衡”思想强调静态均衡状态（特征）是一般经济运行的本质特征及其在经济学中的中心地位而忽略实际经济运行过程及其不确定因素的分析西方经济学相信任何经济运行过程是围绕均衡进行的均衡是实际运行轨迹的中心线；均衡是客观的、确定的即使实际经济运行可以是不稳定的但最终总是收敛于均衡的正是基于这种认识西方经济学研究中不考虑诸如历史文化、人际制度等复杂、易变的动态因素；着重研究静态的物与物、人与物的关系而不考虑人与人的关系例如“均衡”这个概念没有历史、文化和制度的差异涵义象一个物理定律（均衡概念及思想实际上来源于比较静态力学的研究思想）；又例如西方经济学中经常出现的一个假设条件“假设其他条件不变”也是这一思想的具体反映 （2）强调理性拒绝非理性